Bonjour j'ai un dm de math à faire mais je n'arrive pas à faire cet exercice, je cherche surement trop compliqué et du coup rien ne marche.
In = intégrale de 0 a 1 de (x^n/n!)*exp(1-x)dx
1) Trouver la limite de In quand n tend vers l'infini
2) Trouver une relation de récurrence entre In et In+1
Merci d'avance pour votre aide
bonsoir
ta fonction (x^n/n!)*exp(1-x) est positive ou nulle sur l'intervalle et inférieure à (x^n/n!)
donc IN est inf à l'intégrale de cette dernière , avec cela tu peux conclure sur la limite.
Pour la seconde question tu peux faire une IPP.
Cdt
y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
(x^n/n!)*exp(1-x) est positive ou nulle sur l'intervalle et inférieure à (x^n/n!)
positive ou nulle je vois pourquoi mais (x^n/n!)*exp(1-x) < (x^n/n!) entre 0 et 1 me semble faux : je me trompe peut etre mais j'aurais inversé l'ordre (x^n/n!)*exp(1-x) > (x^n/n!)
bonsoir , quelle est ton argumentation pour cela ?Envoyé par jade2609
bonsoir max
comme 0<x<1
1<exp(1-x)<e(=2.7)
si on pose a = (x^n/n!)
a* un nombre supérieur ou égale à 1 >a
le nombre supérieur ou égale à 1 étant exp(1-x)
Tu as raison, l'inégalité n'est pas évidente, même si elle est exacte.
Sinon on a (x^n/n!)*exp(1-x) < (x^n/n!)*exp(1) en utilisant uniquement le fait que exp(1-x)<exp(1) pour x>0.
Et on peut conclure sur la limite avec cette inégalité.
bonsoir verdurin
effectivement cela fonctionne très bien
du coup je trouve comme limite 0
en intégrant la limite ne change pas (il me semble) donc In tend vers 0
cela est-il correct?
Effectivement la limite de In quand n tend vers l'infini est zéro.
Mais je ne vois pas de quelle autre limite tu parles.
j'ai seulement calculer la limite de qui est sous l'intégrale mais en repassant a l'intégrale, la limite n'est pas modifiée
l'autre limite ce doit être celle de ce qui est sous l'intégrale du coup
merci bien
Ça c'est une idée très dangereuse, et qui va te faire faire des erreurs.
Ici on a
En intégrant l'inégalité entre 0 et 1 il vient
Et on a facilement la conclusion pour In
Mais , si une fonction tend ponctuellement vers zéro sur un intervalle, il il ne faut surtout pas croire que ça entraîne que la limite des intégrales est nulle.
merci pour votre correction , j'avais oublié( écriture ) le facteur e ( multiplicatif ) ce qui ne change rien à la limite.
reste la deuxième question.
@verdurin,
on peut tout à fait intégrer x^n/n! sans passer par le fait que cela est inf à 1/n! sur l'intervalle.
Dernière modification par ansset ; 06/01/2017 à 00h45.
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