suite bornée et divergente

[shaams]

Bonjour, on me demande de montrer qu'une suite bornée et divergente admet deux sous-suites convergeant vers des valeurs distincts.
Je me dis que si la suite est divergente en restant bornée cela veut dire alors que la suite n'est pas monotone donc je me peux tirer extraire 2 suites dont l'une est croissante l'autre décroissante mais comme elles sont respectivement majoré et minoré alors elles convergent chacune vers limites différentes. Je ne suis pas vraiment sure de la conclusion mais je n'ai pas d'autre idées en tete. Pouvez m'éclairer ?
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[gg0]

Bonjour.

Même avec une suite divergente comme l'exemple qui suit, tu peux avoir du mal à trouver tes deux suites de sens inverses.

On prend :


Connais-tu les notion de limite supérieure et limite inférieure et leur lien avec la convergence ?

Cordialement.

[shaams]

Non je n'ai pas encore vu ces notions, je dois faire avec des connaissances de L1.

[slivoc]

salut !
Sinon on peut s' en sortir seulement avec le théorème de bolzano weierstrass qu' on peut cherche à appliquer deux fois (puisque ta suite n' est pas convergente)!

[A voir en vidéo sur Futura]

[shaams]

D'accord avec le théorème B.W mais je ne peux pas en déduire que les sous-suites convergent vers valeurs distinctes.

[gg0]

Heu ... on voit ça en L1. Mais à la réflexion, c'est assez technique.

Une deuxième idée : Comme le propose Slivoc, on utilise le fait qu'on peut extraire une sous suite convergente, de limite L. Il faut faire apparaître la deuxième, qui a une limite différente, mais éventuellement très proche. On considère l'ensemble des termes restants (ceux qui ne font pas partie de la sous-suite), et un nombre e>0 variable. Alors il existe une valeur e₀ de e telle qu'une infinité de termes restants soient à plus de e de L (tels que |u_n-L|>e). Ceci se prouve par contraposition à partir de la définition de "U_n tend vers L". On extrait de cette sous-suite bornée une sous-suite convergente. Et donc de limite différente de L.

Bon travail pour rédiger ça.

NB : C'est l'idée de Slivoc, rédigée en partie.

[slivoc]

Heu ... on voit ça en L1 .

Avant cette année, je n' en n' avais jamais entendu parlé, et je suis en L3. Ca doit dépendre des établissements sans doute !

[gg0]

C'est vrai que le niveau en analyse et en calcul des lycéens ayant fortement chuté, la nécessité de faire apprendre ce qui se faisait autrefois en première et terminale a pris le pas sur la formation technique de base.
Je ne peux que te conseiller d'aller voir ces notions toi-même, dans pas mal de domaines elles sont très utilisées.

Cordialement.

[TesiI]

C'est vrai que le niveau en analyse et en calcul des lycéens ayant fortement chuté, la nécessité de faire apprendre ce qui se faisait autrefois en première et terminale a pris le pas sur la formation technique de base.

Cordialement.

Bonjour,

Vous qui avez connu l'époque où on apprenait encore toutes ces choses au lycée, pensez-vous que la faiblesse en calcul et en analyse en général est compensé par nos (puisque je fais parti de cette génération) autres enseignements (statistiques, informatique) ou que c'est une baisse pure et simple de connaissances dans tous les domaines? (des mathématiques j'entends)

[invite02232301]

Bonjour,
Ta suite (U_n)_n est réelle? Sinon le resultat peut etre faux.

[gg0]

Bien vu, Mipama,

j'avais supposé qu'il parlait de suite réelle. En général, dans les énoncés sur les suites complexes c'est dit.

Cordialement.

[shaams]

Merci à vous j'ai compris l'idée.
Pour les limites supérieures et inférieures je ne les ai jamais vu et pourtant j'ai été jusqu'en L2 de mathématiques il y a de cela 6 ans.

[gg0]

Pour TesiI :

malheureusement, non. On ne peut même pas dire que vous voyez plus de choses. mais il faut dire que le nombre d'heures de formation en mathématiques a fortement chuté. Jusque vers 1980, les horaires étaient de 5 h en collège, 6 en seconde et première et 7 ou 9 en terminale D ou C. On en est loin. De plus, les exigences ont très fortement baissé. Enfin, ce qui est fait en statistiques est assez caricatural (surtout en terminale S) et désole les statisticiens. Il suffit de voir d'anciens sujets de bac, infaisables par des L2 d'aujourd'hui.
A savoir : les programmes des prépas scientifiques ont été fortement changés, de façon à voir dans le premier semestre toutes les notions utiles qu'on ne fait plus en lycée. Bien sûr, il faut ensuite, en un peu plus d'un an (la fin de la deuxième année est consacrée aux concours) faire presque ce qu'on faisait en 18 mois. Dur pour les élèves.

Cordialement

[TesiI]

Merci pour votre réponse,

Je trouve cela fort dommage, à plus forte raison quand on sait que la baisse du niveau en mathématiques n'est compensée nul part. Et en tant que récent élève de terminale S, je ne peut qu'être d'accord avec votre remarque sur les statistiques.
C'est tout de même intéressant de savoir comment c'était avant...

Cordialement

[feanorel]

Les notions de lim sup lim inf ne sont plus vraiment au programme "standard". Leur définitions étant un peu techniques elles ont été mises de côté... Elles sont enseignée au passage par certains cours "avancés" qui en ont besoin (typiquement en analyse fonctionelle ou en optim). On peut aujourd'hui arriver en M2 de math sans les avoir vues ! Cela reste toutefois des notions fort pratique pour de nombreux domaines et pas très difficiles à manipuler.