Bonjour, je suis en train de réviser pour un examen et il faut que j'apprenne plusieurs démonstrations de théorèmes et je ne comprends pas celle du théorème des valeurs intermédiaires ...ou tout du moins pas entièrement.
Voilà l'énoncé avec la démonstration:
Théorème de la valeur interédiaire:
Soit f une fonction continue définie sur l’intervalle borné et fermé [a,b] et f(a) < f(b). Alors pour tout nombre réel r tel que f(a) < r < f(b), il existe un c ∈]a,b[ tel que f(c) = r. (r est dit valeur intermédiaire.)
Démonstration:
On considère l’ensemble borné E = {x ∈ [a,b] : f(x) ≤ r}. Noter que E ̸= ∅ puisque a ∈ E. On pose c := supE. c est un point adhérent à E, donc il existe une suite d’éléments xn ∈ S qui convege vers c. Par la continuité de f :
f(c) = lim n→+∞ f(xn) ≤ r.
r < f(b) implique c < b. Par conséquent, l’intervalle semi-ouvert ]c,b] est non vide et f (x) > r pour tout x ∈]c, b].
Par conséquent,
f(c)= lim n→+∞ f(c+1/n)≥r.
d’où f(c) = r.
Pourriez vous m'expliquer l'idée directrice de la démonstration car j'ai peur qu'elle m'échappe un peu, pour le déroulement en lui-même, je ne comprends vraiment pas la deuxième partie.
Merci d'avance,
Cordialement.
Blueshift.
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