Norme matricielle
Bonjour ,
Notre prof pose cet exercice dans l'examen de l'anne precedent ?????
On munit R^n du produit usuel <. , .> et de la norme euclidienne associee notee ||.|| ,soit A une matrice symetrique , on considere
f : x ---> <Ax,x> :
1-Montrer qu il existe v ,||v||=1 tel que f(v)=inf{ f(x) , ||x||=1 }.
2-Montrer v est un vecteur propre associe a la plus petite valeur propre de A.
J'essai 1000 fois mais je ne trouve rien !!!!
Bonjour,
Pour la 1), regarde si {x dans R^n, ||x||=1} est compact, puis si f est continue.
Pour la 2), Je ne suis sure de rien, mais puisque A est symétrique réelle, elle est diagonalisable. Peut etre essaye de regarder f dans une base qui diagonalise A.
Je ne comprend pas silvoc . tu peux m'expliquer (detailles).
Peut-etre que tu n' as pas encore vu ce résultat, mais il y a un théorème qui dit que lorsque tu as un application continue f: R^n-->R, alors l' image de tous compacts de R^n est un compact de R.
Si on appelle S l' ensemble: {x dans R^n, ||x||=1} et que tu arrives à montrer que S est compact et f est continue, alors f(S) sera un compact de R ( pour la norme sur R obtenue à partir de la valeur absolue). Or dans ce cas-ci, les compacts de R sont exactement les fermé bornés: il existe m dans f(S) tel que pour tout M dans f(S), m<=M. Donc si m est dans f(S), ça veut dire qu' il existe v dans S, tq f(v)=m.
Oui slivoc c'est ca . mais peut etre notre prof refuse cette methode (on n' a pas encore vu) , est ce qu il y a une methode par utilisation la norme lineare ???
Je vois une autre façon de faire, mais ça utilise plus ou moins le résultat de la question 2. Il faut se servir du fait que si A est une matrice réelle symétrique, alors il existe une base b orthonormée de R^n formée de vecteurs propres de A (A est diagonalisable dans une base orthonormée de R^n). Si on note L1,L2,...Ln les valeurs propres de A, avec L1 <= L2 <= ... <= Ln et b1,...,bn des vecteurs propres de A associés aux valeurs propres ( b1 asocié à L1 etc ..). Alors regarde ce que vaut f(b1). Puis donne toi un vecteur v tq ||v||=1, écris le dans la base b, puis regarde f(v) en utilisant la bilinéarité du produit scalaire. C' est sans doute pas la meilleure façon de faire mais je ne vois que ça.
tu utilises le vecteur P trouvé dans le 1/, et l'espace orthogonal à ce vecteur, pour fabriquer une courbe paramétrique de paramètre theta. sur la sphère unité.
Tu traduis le fait que la fonction que tu as dans l'énoncé, atteint un maximum pour le point de la courbe qui correspond à P. Et tu dois voir que AP// P.
