Suite de cauchy pour une distance

[ArtusV]

Bonjour,
j'aurais besoin d'un peu d'aide pour montrer qu'une suite est de Cauchy, j'ai des difficultés à majorer le terme de la condition de Cauchy ..
Merci d'avance pour votre aide.
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[JB2017]

Bonjour d(x,y) est tout sauf une distance!!

[ArtusV]

Bonjour,
d est bien une distance, j'ai simplement fais une erreur en recopiant mon travail, il faut remplacer le + par un - dans l'expression : x/1+x - y/1+y
ainsi que dans la première égalité de la question 1 sinon il me semble que le reste du calcul est correct ?

[slivoc]

bonsoir,

Pour la 1ère question, on peut remarquer que l' application qui va de R+ dans R+ et qui a x associe x/(1+x) est croissante et tend vers 1 ( et pour tout x, x/(1+x) < 1).
Donc si on se donne 0< N < n <p trois entiers naturels, on remarque que d(p,n)<d(p,N), et p/(1+p) <1 donc d(p,N)< ....

Bonne soirée !

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Non vous avez fait une erreur quelque part d(n,n+p) s'exprime de façon bcp + simple.

[ArtusV]

JB2017 : peut etre que cela serait plus constructif pour moi si vous m'expliquiez ou est mon erreur ? Mon calcul me semble correcte, il faut surement le réduire pour que l'expression soit plus simple mais comme écrit plus haut je ne sais pas comment faire.. Je l'avais au départ séparé en deux partie mais ça ne m'aidait pas à répondre au problème. Merci.

Slivoc : Il est demandé dans le devoir d'utiliser d(n,n+p) dans la condition de Cauchy, je n'ai pas vraiment compris votre histoire de d(p, N) ??

[JB2017]

Rebonjour
Le calcul est simple mais encore il faut partir de la bonne définition de d(x,y).
Ensuite on trouve d(n,n+p)=p/((1 + n) (1 + n + p))
ce qui est facile à majorer par un terme qui ne dépend que de n et qui tend vers 0.

[slivoc]

C' est la définition d' etre une suite de cauchy avec N un certain rang et p,q des entiers quelconques plus grands que N.
En fait je voulais surtout montrer qu' on peut prouver que Xn est de cauchy sans développer la fraction: pour n,p entiers naturels (n+p)/(1+n+p)<1 donc on peut majorer d(n,n+p) par ..... qui ne dépend plus que de n et qui tend vers 0, comme le dit JB2017.
Bonne soirée !

[albanxiii]

Bonjour,

JB2017 : peut etre que cela serait plus constructif pour moi si vous m'expliquiez ou est mon erreur ?

Il me semble que vous l'avez vue vous même :

d est bien une distance, j'ai simplement fais une erreur en recopiant mon travail, il faut remplacer le + par un - dans l'expression : x/1+x - y/1+y

@+

[ArtusV]

Bonjour,
J'imagine que pour obtenir "p / (1+n)(1+n+p)" vous avez simplement mis au même dénominateur et probablement ensuite annuler les terme n(n+p) et n(abs(n+p)) du numérateur, vous avez alors eu (-p) au numérateur que vous avez transformer en p (début de resultat que j'avait déjà posté dans l'image de mon post mais que je n'avais pas réduit jusqu'au bout) ? Mais comment votre résultat peut il ne dépendre que de n puisqu'il y a des p ? Dois je faire tendre p vers n puis n vers l'infini pour obtenir que la limite tend vers 0 et pouvoir conclure ?

slivoc : si je comprends bien, on aurait donc que (n+p)/(1+n+p) < 1 et n /1+n < 1 donc d(n,n+p) < abs (1-1) et donc < 0 ?

Pouvez vous me dire si la question 2 est correcte ?

Merci.

[JB2017]

d(n,n+p)=|n/(1+n)-(n+p)/(1+n+p|=|-p/[(1+n)(1+n+p)]|=p/[(1+n)(1+n+p)] <=1/(1+n)
Je ne vois rien de compliqué.

Pour la question 2. le calcul sous la racine est faux.

[slivoc]

Bonjour,

En fait on a d(n,n+p)= (n+p)/(1+n+p) - n/(1+n) < 1- n/(1+n), où la majoration de dépend plus de p. Donc en faisant tendre n vers + l' infini on retrouve bien que X(n) est de cauchy( puisque la distance de X(n) à X(n+p) tend vers 0).
Pour la question 2, pour moi le calcul n' est pas faux, en fait d(x,y)=|x-y|. Par contre la limite de p quand n tend vers + l' infini n' est pas + l' infini, c' est juste p ( p ne dépend pas de n). Par contre en prenant p=1, ça suffit pour en déduire que X(n) n' est pas de cauchy, puisque la condition : "pour tout epsilon..." n' est pas respectée, par exemple avec epsilon=1/2,pour tout n, d(n,n+1)=1 > 1/2.

Bon weekend.

[JB2017]

Pour la question 1 . nous sommes donc d'accord, nous avons fait la même chose.
Pour la question 2, c'est vrai le calcul est bon, je n'avait pas bien vu où sont placés les () .

[ArtusV]

Bonsoir,
Je penses avoir compris vos explications dans l'ensemble. Merci de votre aide.