[MPSI]Comprendre les arcs paramétrés - étude locale

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

J'ai quelques soucis avec les arcs paramétrés notamment avec les études locales et les allures du support localement.

Dans mon cours, j'ai 4 cas de figure :

un point peut être :
- ordinaire (p impair, q pair)
- d'inflexion (p et q impairs)
- de rebroussement 1ère espèce (p pair, q impair)
- de rebroussement 2nde espèce (p et q pairs)

jusque là tout va bien

mais je n'arrive pas à comprendre comment on trouve p et q !

d'après ce que j'ai compris, f^(p) (t₀) est le premier vecteur non-nul trouvé en dérivant f en t₀ et f^(q) est le premier vecteur non-colinéaire à f^(p) (t₀) en dérivant à partir de f^(p)... (donc q>p)

en pratique, comment fait-on ?



Sur un autre point, je n'arrive pas à comprendre comment on peut trouver sur le même dessin d'un A.P. 2 courbes qui se croisent...


je vous remercie


Romain
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[matthias]

en pratique, comment fait-on ?

En pratique p et q sont petits donc ça ne pose pas de problème (on dérive et on regarde ce qui se passe).

[Romain-des-Bois]

Sur un autre point, je n'arrive pas à comprendre comment on peut trouver sur le même dessin d'un A.P. 2 courbes qui se croisent...

Ca, c'est bon


je veux bien que p et q soient petits... mais comment les trouvé-je ces lascars ?

par exemple : f(x) = 1/(1+e^x)

f'(x) = -1 / [4.ch²(x/2)]

f''(x) = e^x.(e^x - 1) / (e^x + 1)³

on veut étudier l'allure en 0 :

f(0) = 1/2
f'(0) = -1/4
f''(0) = 0
f'''(0) = 1/8

j'en fais quoi de tout ceci !?

et peut-on aller plus vite à partir d'un DL3(0) (suggéré par l'énoncé) ?

thanks

Romain

[invite4660d0b5]

En pratique, on peut aussi faire un développement limité en t_0, surtout si la fonction est pénible à dériver (au minimum, c'est l'ordre 3 en un point stationnaire).

Un arc paramétré décrit le mouvement d'un point dans le plan, il n'y a donc aucune difficulté à concevoir qu'il repasse par le meme point, c'est à dire qu'il recroise sa trajectoire (cela s'appelle un point double)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4660d0b5]

Ceci ne relève pas vraiment des arcs paramétrés : c'est une simple étude de fonction : développer d'abord l'exponentielle (à l'ordre 3), puis utiliser le développement de 1/(1+u) (à l'ordre 3 aussi) : évidemment, il n'est pas utile de calculer les termes d'ordre >3, donc il y a moins de calculs qu'en dérivant.

[Romain-des-Bois]

Ceci ne relève pas vraiment des arcs paramétrés : c'est une simple étude de fonction : développer d'abord l'exponentielle (à l'ordre 3), puis utiliser le développement de 1/(1+u) (à l'ordre 3 aussi) : évidemment, il n'est pas utile de calculer les termes d'ordre >3, donc il y a moins de calculs qu'en dérivant.

on me demande de montrer que 0 est un point d'inflexion...

merci

Romain

[Nox]

Bonsoir,

Pour faire ce genre des d'étude els deux méthodes sont possibles : par des dérivées enièmes ou par des DL.
Le seul danger avec les DL est qu'ils faut les faire au bon ordre sinon tu risque d'être trop juste et de ne pas pouvoir déterminer p et q. Mais la démarche des dérivées énièmes peut vite devenir fastidieuse si les fonctions sont trop compliquées..
Alors en bref voilà le principe :
p est le 1er entier >=1 tq la dérivée p-ième ne soit pas le vecteur nul et q le premier entier >=2 tq la dérivée p-ième et la dérivée q-ième ne soient pas colinéaires
Pour la méthode des dérivées, tu calcules les dérivées successives jusqu'à en trouver 2 non colinéaires et non nulles.
ex de mon cours :
x(t)=2t+t²
y(t)=2t-1/t²
on fait l'étude en t=-1 car x'(-1)=y'(-1)=0 donc c'est un point stationnaire. tu calcules les dérivées successives. pour x'' et y'' tu obtiens f""(-1)=(2;-6) non nul donc p=2. pour la dérivée troisième tu trouves f'''(-1)=(0;-24) donc q=3.
Avec la méthode des DL tu calcules le DL3 de x(t) et de y(t). tu obtiens le DL3 de f : f(t)= (-1;-3) + h (0;0) + h² (1;-3) + h^3 (0;-4) + o(h^3) avec h=t+1 (chgt de var pour calculer les DL en 0)

Voilà j'espère t'avoir été utile. Sinon n'hésite pas à demander !

Cordialement,

Nox

edit : dans ton cas même si je n'ai pas regardé ta fonction tu vas trouver p et q impairs donc tu en déduiras que c'est un point d'inflexion directmeent à partir de la formule du cours ...)

PS c'est vrai que c'est bizarre comme démarche de parler d'arc paramétré quand tu n'as qu'une fonction ...

[matthias]

C'est un arc paramétré si on pose x=t, mais bon ....

[invite4660d0b5]

D'après les dérivées que tu as indiquées, c'est fait : c'est bien un point d'inflexion. En appliquant la formule de Taylor, tu obtiens
f(x) = 1/2 - 1/4 x + 1/48 x**3 + o(x**3)
et comme x**3 change de signe en 0, la courbe de f passe d'un coté à l'autre de sa tangente.

[Romain-des-Bois]

D'après les dérivées que tu as indiquées, c'est fait : c'est bien un point d'inflexion. En appliquant la formule de Taylor, tu obtiens
f(x) = 1/2 - 1/4 x + 1/48 x**3 + o(x**3)
et comme x**3 change de signe en 0, la courbe de f passe d'un coté à l'autre de sa tangente.

Salut,

je trouve le même DL₃ que toi.

Le fait que la courbe passe d'un côté à l'autre de sa tangente est effectivement un bon moyen de voir qu'un point est d'inflexion je ne m'en étais pas rendu compte.

merci beaucoup à tous

Romain