Bonjour à tous
Les intervalles de confiance sont toujours centrés en la valeur moyenne empirique. Pourquoi ?
Si on prend une dizaine de variables indépendantes suivant une même la loi exponentielle, la valeur moyenne observée n'est pas la valeur la plus probable. Alors pourquoi on centre l'intervalle de confiance en la moyenne empirique, alors que la valeur la plus probable est inférieure ? on pourrait centrer en la valeur la plus probable !!??
Bonjour.
On centre les intervalles de confiance sur la moyenne lorsque la loi qui les détermine est symétrique. il n'y aurait aucune raison de centrer un intervalle d'une loi exponentielle !
Pour ta dizaine de variable, si elles sont de paramètres proche, la loi de la moyenne est approximativement gaussienne, donc on centrera sur la moyenne. Si l'une des variables est prépondérante, on fera autrement.
Cordialement.
Merci pour votre réponse.
J'ai la même loi pour les dix variables : on prend 10 lampes LED de même fabrication, au hasard, et on regarde leur temps de vie. Dès qu'une lampe est grillée, on la remplace par une suivante.
Dans ce cas, la valeur moyenne (espérance) est 10 fois la moyenne de la loi exponentielle. Mais la valeur la plus probable est plus faible. Du coup, je ne vois pas pourquoi centrer l'intervalle de confiance.
Comme tu n'exprimes pas la loi de la moyenne de durée de vie, tu parles dans le vide. Cette moyenne M des 10 variables indépendantes ne suit pas une loi exponentielle. Et n'importe comment, l'espérance de M n'est pas 10 fois la moyenne de la loi exponentielle.
Revois tes cours de probabilité.
Cordialement.
NB : pourquoi remplacer ? Je n'ai pas trop compris de quoi tu parles : 10 lampes, ou 10 lampes qu'on remplace (mais alors on mesure quoi ?), ou ... Comme tu restes dans le flou, on peut passer du temps pour rien ...
Je rejoint gg0 : quel est la valeur que tu veux estimer ? Le paramètre commun de tes 10 exponentielles ?
Bonsoir,
Il me semble utile de donner mon avis.
L'expérience dont il est question est aussi connue sous le nom de "durée de vie" (cité par gg0).
La valeur intéressant est la médiane. C'est à dire la valeur telle que la moitié des issues lui est inférieure et l'autre moitié supérieure. D'où l'expression "demie vie" lorsqu"il s'agit de "mort" d'un élément radioactif.
Il n'y a pas à se poser la question "quelle est la valeur que tu veux exprimer', mais dans un parc contenant un grand nombre de LED, quel stock est à prévoir.
En d'autres termes, une LED prise au hasard a une chance sur deux de durer plus longtemps que la médiane.
Merci à tous pour vos réponses. J'ai écrit trop vite.
Je sais bien que la médiane correspond toujours à la moitié des effectifs, c'est la définition de la médiane : la moitié en dessous, la moitié au dessus. Je veux estimer une durée de vie par intervalle de confiance.
Je prends 10 lampes identiques : L0, à L9 qui suivent la loi exponentielle d'espérance m, je regarde la somme S = L0+...+L9 : cette variable S correspond à l'expérience que j'ai décrite : on allume une lampe, et dès qu'elle est grillée, on la remplace. Quand les 10 lampes sont grillées, on voit le temps total d'éclairage : c'est S. La variable S suit une loi plus compliquée : S(x) = (x/m)**9 .exp(-x/m) / 9!.m
(**9 veut dire puissance 9)
Donc 95% du temps, S se trouve dans l'intervalle [4.3 m , 16.3 m ]. On voit que ce n'est pas centré en 10m .
En plus, la valeur la plus probable est x=9m ( = dérivée nulle de S(x) )
Ok.
Tu as trouvé un intervalle de confiance à 95%, comment, tu ne le dis pas (il y en a probablement d'autres). Comme je te l'ai dit au message #2, il n'y a pas de raison que cet intervalle soit centré sur la moyenne. Ici il n'est pas centré sur 10m, mais presque, puisqu'il est centré sur 10,3m.
Je ne comprends pas pourquoi tu t'interroges, ni même sur quoi. Tu as un intervalle de con fiance, que veux-tu de plus ?
Cordialement.
Dernière modification par gg0 ; 28/02/2017 à 09h34.
A noter :
Il est plus efficace ici d'estimer la moyenne, puis d'en déduire une durée de demi-vie que d'essayer d'estimer la demi-vie à partir des demi-vies des composants.
Je pensais avoir tout compris mais en fait non.
- de quelles infos disposes-tu : du paramètre de la loi exponentielle ? de réalisations passées ?
- que cherches-tu exactement ?
J'ai l'impression que tu pars du principe que tu connais déjà le paramètre de l'exponentielle et que tu cherches un ensemble dans lequel ta va S à 95% de chance de se trouver. Il y en a bien sûr une inifinité et il te faut un autre critère pour en choisr un. Ce que tu appelles "valeur la plus probable" est le maximum de la densité de S ?
Mais si ta question c'est, dans un cadre statistique, est-ce qu'un intervalle de confiance (disons de l'espérance) est toujours centré en la moyenne empirique, la réponse est non. Tout dépend de tes hypothèses et objectifs. Typiquement lorsque je dois estimer des bornes sup j'ai tout intérêt à prendre un intervalle de confiance unilatéral (ce que je veux c'est être "sûr" - à 95% - que ce soit en dessous, éventuellement très loin en dessous).
gg0,
l'intervalle [4.3m ; 16.3m] que j'ai donné n'est pas un intervalle de confiance, mais un intervalle de fluctuation de la variable S.
Comment le trouver ? C'est l'intervalle le plus petit en longueur sur lequel l'intégrale de S(x) est 0.95.
C'est ensuite que l'on trouve l'intervalle de confiance pour la valeur de m : quand on observe une moyenne empirique s/10, on calcule l'intervalle de confiance pour m tel que 4.3m < s < 16.3m , ce qui donne m dans l'intervalle de confiance [s/16.3 ; s/4.3] .
Par exemple, si s=10 ans , alors on trouve l'intervalle [0.61 ; 2.32]
Cet intervalle de confiance n'est pas du tout centré en s/10 , qui vaut 1 an.
Ma question ? si on utilise la loi normale, on tombe sur un intervalle de confiance centré en la moyenne empirique s/10 ... mais c'est faux ?!
feanorel,
Oui, la "valeur la plus probable" est le maximum de la densité de S, et pour 10 ampoules, c'est 9.m , pas 10.m comme on pourrait croire.
Je collecte la durée de vie de 10 ampoules, et je veux estimer par encadrement la moyenne de la loi exponentielle m.Envoyé par feanorel
Comment ferais-tu dans mon cas ?
OK !
Mais il était temps que tu commences à dire de quoi tu parles.
Ben oui, si tu fais autrement, il n'y a aucune raison que ça donne la même chose !C'est ensuite que l'on trouve l'intervalle de confiance pour la valeur de m : quand on observe une moyenne empirique s/10, on calcule l'intervalle de confiance pour m tel que 4.3m < s < 16.3m , ce qui donne m dans l'intervalle de confiance [s/16.3 ; s/4.3] .
Par exemple, si s=10 ans , alors on trouve l'intervalle [0.61 ; 2.32]
Cet intervalle de confiance n'est pas du tout centré en s/10 , qui vaut 1 an.
Ma question ? si on utilise la loi normale, on tombe sur un intervalle de confiance centré en la moyenne empirique s/10 ... mais c'est faux ?!
Mais pourquoi utiliserais-tu la loi Normale, et à propos de quoi ?
Encore une fois, le centrage n'a pas de sens pour des variables non symétriques.
Une autre remarque : La "valeur la plus probable" peu n'avoir aucun intérêt, au sens où tu dis (maximum de densité), elle peut même être rare dans les faits (densité avec une "pointe").
gg0,
merci pour tes réponses. Dans les documents où on présente l'intervalle de confiance pour estimer l'espérance d'une loi de probabilité, on utilise la loi normale pour définir l'intervalle de confiance à 95 % qui est
[ x - 1.96 * e / n^0.5 , x + 1.96 * e / n^0.5 ]
où x est la moyenne observée et e est l'écart-type empirique.
Avec mon exemple, s=10 ans pour n=10 lampes, on a x=s/n=1 an, et par exemple e=1 (l'écart-type de la loi exponentielle est égal à l' espérance), et l'intervalle obtenu par la loi normale est [0.38 ; 1.62], centré en 1. Mais il n'est pas bon !
Comment fait-on quand la loi (inconnue) n'est pas symétrique ?
Il faut que tu arrêtes de dire "il n'est pas bon" ou "c'est faux" à tort et à travers...
Avec très peu d'hypothèses, pour estimer l'éspérance d'une v.a. dont on dispose d'un certain nombres de réalisation on utilise le TCL pour construire un intervalle de confiance
asymptotique. L'avantage : très peu d'hypothèses sont nécessaires (v.a i.i.d de variance finie). L'inconvénient : le résultat est asymptotique et générique. Avec n=10 il y a des chances que l'intervalle donné n'est pas pour proba exacte 95%...
Si tu as plus d'informations sur la loi tu peux construire des intervalles de confiance plus adapté, typiquement asymétriques.
Attention, dans ce que tu as fait ton "intervalle de confiance" n'est pas un intervalle de confiance sur le paramètre de ton exponentielle mais, connaissant le paramètre, tu as déterminé un ensemble de proba 95% pour S. Tu peux regarder l'exemple p.295 de http://cermics.enpc.fr/~delmas/Enseig/ensta_cours.pdf qui te donne une région de confiance exacte pour le paramètre de ta loi à partir de tes réalisations.
Merci Feanorel pour ce document.
En lisant l'explication de l'exemple du haut de la page 295, je comprends que la propriété essentielle que j'ai utilisée est le "pivotage". D'ailleurs, en reprenant les notations du document, leur fn(y) est mon S(x)/m avec y=x/n , et les deux constantes a+ et a- sont mes deux valeurs 4.3 et 16.3 pour un niveau de 95% = 1 - 5% .
La fonction S(x)/m est pivotale, et c'est ça qui permet de construire facilement un intervalle de confiance exact, sans le souci d'asymptotique quand on utilise la loi normale.
De rien, je suis sûr que tu trouves l'équivalent dans tous les cours de niveau L3/M1. J'aime bien celui-ci (pour l'avoir utilisé) d'autant plus qu'il est dispo en ligne
Vunerraja,
"Dans les documents où on présente l'intervalle de confiance pour estimer l'espérance d'une loi de probabilité" on lit, si le document est sérieux, un certain nombre d'hypothèses sur la situation(*). Tu ne sembles pas vouloir en tenir compte.
Il me semble que tes interrogations (et ta résistance à nos explications) relèvent non pas d'une discussion sur un forum, mais d'un apprentissage de ta part de la théorie des statistiques inférentielles, dans un cours sérieux. Tu mélanges apparemment des notions de niveaux très différents en jouant les unes contre les autres hors contexte.
Fais ce travail d'étude, puis, quand tu auras réfléchi tu verras que tu te poses de fausses questions.
Cordialement.
(*) du genre variable gaussienne, ou bien grand échantillon (plus de 30, ou plus de 100)
Bonjour,
je pensais que plus l'intervalle de fluctuation était réduit, plus l'intervalle de confiance qui en découle l'était également. Mais ça aussi, ça se révèle faux...
Pour minimiser la longueur de l'intervalle de confiance, on voit qu'il faut minimiser (1/a+) - (1/a-) , et alors on tombe sur l'intervalle de confiance [s/19.8 ; s/5.3],
ce qui donne dans l'exemple avec s=10 ans, l'intervalle [0.505 ; 1.885] , qui est 20% plus petit que celui que j'avais donné [0.61 ; 2.32]
gg0,
J'ai bien compris que la loi normale est envisagée de manière asymptotique, mais qu'elle n'était pas utile dans le cas où on veut estimer l'espérance de la loi exponentielle.
Je mélange quoi ?
Bonjour,
Je n'ai pas vu l'énoncé d'origine et je rejoins gg0 lorsqu'il dit que vous vous compliquez la vie.
D'après ce que j'ai compris, on a 10 culots de lampe alimentés en permanence. Lorsqu'une ampoule claque, on la remplace par une neuve, identique. Au bout d'un certain temps T on a utilisé N ampoules. Il faut calculer la durée de demi-vie d'une ampoule du type étudié et l'intervalle de confiance à 95%.
Les N ampoules utilisées suivent la même loi de probabilité avec deux issues "état de marche" ou "claquée". Cette loi est souvent caractérisée par une loi exponentielle.
L'expérience sur la durée T consiste à observer N évènements, à 2 issues, d'une même loi de probabilité. C'est exactement l'application du TCL.
Dlzlogic,
je ne veux pas calculer la demi-vie d'une ampoule, mais la durée moyenne de vie et un intervalle de confiance à 95%.
La loi exponentielle est une loi de probabilité continue, tout nombre réel positif est une issue possible. Il n'y a pas seulement 2 issues, comme vous dites !
Je ne sais pas si je me complique la vie, mais pour l'instant personne d'autre n'a fait le moindre calcul.
Feanorel a donné le lien sur un livre qui confirme ce que j'ai calculé. Je suis même allé plus loin ce matin en minimisant la longueur de l'intervalle de confiance donné dans le livre.
gg0 a expliqué que le TCL ne s'applique pas puisque le nombre de lampes est 10, donc trop petit.
Je répète la situation : avec une seule lampe de chevet, 10 ampoules identiques (suivant la même loi exponentielle) ont été nécessaires pour éclairer (les unes après les autres) pendant 10 ans. Donner un intervalle de confiance à 95% pour la durée de vie des ampoules.
Comment feriez vous , puisque vous jugez cela si simple ?
D'abord vous dites que la probabilité de claquage d'une ampoule suiti une loi exponentielle. La loi exponentielle est une loi "sans vieillissement". J'ai peine à croire que une ampoule ne subit pas un vieillissement, mais c'est une autre question.
Vous faites l'expérience avec 10 ampoules du même type, c'est à dire suivant la même loi de probabilité de claquage. Le TCL dit que la valeur la plus probable pour une ampoule est la moyenne arithmétique et que la répartition des écarts à la moyenne respecte la loi normale. C'est un théorème qui est valable sous deux conditions, que les variables soient indépendantes et qu'elles suivent la même loi de probabilité. Dans le cas présent ces deux conditions sont replies. Vous confondez la valeur de 30 unités pour pouvoir approximer une loi binomiale par la loi normale.
Je vous laisse continuer.
merci pour votre réponse.
Non, la valeur la plus probable pour la loi exponentielle n'est pas la moyenne de la loi : si j'ai pris cet exemple de la loi exponentielle, c'est justement pour ça ! Le TCL n'a rien à voir avec cela. La loi exponentielle est asymétrique...
Vous dites donc qu'on peut appliquer le TCL même si on a seulement 10 ampoules : vous contredisez donc ce que gg0 et feanorel affirment depuis hier. C'est intéressant, j'aimerais que vous terminiez votre calcul avec la loi normale pour voir à quoi vous aboutissez.
Je pense que vous devriez lire soigneusement ce document :
http://media.eduscol.education.fr/fi...011_197243.pdf
Et particulièrement l'annexe 2.
Encore une fois, j'aimerais que vous fassiez un calcul pour donner un intervalle de confiance avec la durée de vie d'une lampe...
Autant feanorel a donné une référence totalement adaptée à la résolution du problème (solution qui n'utilise pas le TCL), autant je commence à avoir de sérieux doutes sur votre compréhension : vous insistez avec la loi de Bernoulli et la loi binomiale (qui sont étudiées dans l'annexe 2 du document que vous citez), mais je ne vois pas le lien avec le problème posé sur la loi exponentielle !
Faites aussi une recherche sur le TCL. Il y a pas mal d'articles.
Pour les calculs, il faudrait que je dispose des différentes mesures et de toute façon c'est pas très difficile de faire une moyenne arithmétique, de calculer les écarts à la moyenne, de les élever au carré, de diviser la somme par le nombre d'éléments moins 1 et de prendre la racine carrée.
On obtient l'écart-type, et si on veut l'intervalle de confiance à 95%, on multiplie par 1.96.
Cela est écrit dans tous les cours.
Eh oui, les idées préconçues ne sont pas toujours bonnes !
Ici, tu es dans un cas délicat où tu utilises la vraie valeur de façon multiplicative, ce qui change tout par rapport à l'estimation de la moyenne d'une variable gaussienne. Mais justement, ta variable n'est pas gaussienne.
Il me semble avoir vu qu'il y a de meilleures façons d'estimer la moyenne d'une loi exponentielle, mais je ne suis pas spécialiste ....
"Je mélange quoi ? " probablement les cas simples avec une situation qui ne l'est pas.
Cordialement.
@ gg0, sauf erreur de ma part, le TCL ne parle pas de "variable gaussienne" mais de "variables indépendantes et de même loi".
Dlzlogic,
Bref, vous ne savez pas faire avec la simple donnée s=10 ans... Et pourtant, j'ai donné plusieurs façons d'obtenir un intervalle de confiance.
gg0,
je trouve la loi exponentielle particulièrement adaptée au calcul intégrale et pour obtenir des calculs exacts. Du coup, on peut voir très bien certaines subtilités qui sont d'habitudes complètement gommées par la symétrique et les approximations.
