Géometrie différentielle

[Ogunayos]

Alors Bonsoir j'aurais besoin d'une petite piste pour amorcer l'exercice que voici alors :
soit l’espace étant rapporté aux coordonnées cartésiennes (x, y, z). On considère le champ de vecteurs w(p, q, r) de composantes
P= (y²+z²)/2, q = (z²+X²)/2, r =(x²+y²)/2
Soit l’intégrale curviligne I = C pdx + qdy + rdz
ou
C=S1∩S2 est l’intersection des surfaces suivantes
S1 x²+y²+z²-2ax=0), S2 x²+y²-2bx=0, z ≥ 0),
a>b>0 étant des constantes positives. On désignera par
•Σ1⊂S1,la portion de S1 limitée par C,
•Σ2,le disque plan d'équation x²+y²−2bx ≤ 0,
•Σ3,la portion de S2 limitée inférieurement par le plan (xOy) et
supérieurement par C
1. Déterminer I par un calcul direct : le sens de parcours sur C étant celui
qui correspond au sens direct sur le plan (xOy). Pour cela, identifier une différentielle exacte et montrer que I =aC xdy,on admettra que C xdz=0

Si quelqu'un a même ne serait-ce que l’idée d'une méthode je suis preneur.
En vous remerciant d'avance
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[JB2017]

On paramètre d'abord le cylindre S2 (x=b+b*cos(t), y=b sin(t), z>0). t\in [0,2*Pi]
Ce point appartient à la sphère S1 si z^2=2 (a b - b^2 + a b Cos[t] - b^2 Cos[t]) dc z=2 Sqrt[(a - b) b] Cos[t/2]
On a dc paramétré C et on parcourt C ds le sens indiqué.
Il vient I=int_0 ^'2\pi} f(t) dt où f(t) se calcul gra^ce au paramétrage.
On trouve alors

I= b^2 (-8/3 Sqrt[(a - b) b] + a\pi)

[jacknicklaus]

Pour info, il s'agit d'une variation sur la courbe de Viviani.

[JB2017]

L'image est intéressante. Merci pour l'info.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ogunayos]

Effectivement l'image est tres parlante merci .

[Ogunayos]

j'ai appliqué ta démarche mais je bloque sur la deuxieme partie je ne comprend pas bien ce qu'il faut faire on me dit :


2. Établir l'expression de N , la normale a Σ1 au point courant M (x, y, z) de Σ1 orientée vers l'exterier du volume sphérique. Soit u =rot w,déterminer les composantes du champ de vecteurs u. En faisant usage d'une intégrale de surface étendue a Σ1,et en utilisant la symétrie par rapport au plan xOz , montrer que I se réduit à a×Aire(Σ2).

Voila je bloque sur la question 2 si quelqu'un a une idée merci d'avance . pour N, u et rot w on a la fleche vectoriel au dessus de ces indications mais je ne savais pas comment on les fais apparaitre

[JB2017]

Bonsoir
D'abord je pense avoir fait une erreur dans les calculs précédents. Le paramétrage de z en fonction de t doit être positif.
Ayant enlevé la racine carrée pour simplifier il faut faire attention qd t est ds [pi,2 pi] où l'expression simplifiée dot changer de signe pour avoir z>0
Autrement dit il faut couper le calcul en 2 integrer de 0 à pi puis de pi à 2 pi.
Le résultat serait ab^2 pi.
Pour la deuxième question il me semble qu'il faut appliquer le théorème de Stokes. Il faut regarder les formules et calculer
On obtient alors pour C une intégrale de surface.
il faut donc rot(w) et n la normale à la surface qui vaut n={-1 + x/a, y/a, z/a}