Bonjour à tous,
Alors que je laissais mon esprit divaguer, il me semble avoir remarqué un fait très étonnant. Tellement étonnant, que je me dis que je me suis trompé quelque part, mais pour l'instant je ne vois pas où :
Considérons un jeu de hasard où à chaque coup, il y a deux issues possibles : réussite ou échec. En cas de réussite, le joueur gagne 2 fois sa mise. En cas d'échec, il ne gagne rien.
Considérons également que la probabilité de réussite soit strictement inférieure à 0,5. (On prendra 0,45 pour l'exemple).
Un joueur joue avec la stratégie suivante :
Il mise 1 euro. S'il gagne, il est content et s'en va. S'il perd, il rejoue en misant 3 euros. Tant qu'il perd, ils rejoue en misant 3 fois la valeur de sa mise précédente.
Première remarque : s'il gagne du premier coup, il gagne 2 euros pour une mise de 1, donc il fait un bénéfice de 1 euro. S'il gagne du deuxième coup, il gagne 3*2=6 euros pour une mise totale de 1+3=4 euros, donc il fait un bénéfice de 2 euros. S'il gagne au 3e coup, de même, son bénéfice sera de 5 euros. En réfléchissant un peu, il est évident que cette suite de bénéfice est croissante (et a fortiori ne devient jamais négative) : donc, quel que soit le stade où il réussit enfin à gagner, il fera un bénéfice.
Et donc, à condition qu'il puisse jouer indéfiniment, il est sûr de gagner à ce jeu.
Mais maintenant, considérons qu'il n'ait pas une quantité d'argent infinie à jouer.
Supposons tout d'abord qu'il n'ait qu'un euro.
Alors, son espérance de gain se calcule comme :
(probabilité de gagner * gain en cas de réussite) - mise, ce qui fait :
0,45*2-1=-0,1.
L'espérance est donc négative. On note E(1)=-0,1 l'espérance de gain pour un joueur qui a la possibilité de jouer un seul coup.
Supposons qu'il ait en fait 4 euros. Il peut jouer deux fois.
Comme il ne rejoue que s'il a perdu la première partie, il y a 3 cas de figures :
* Il joue et gagne. (bénéfice =1)
* Il joue et perd, puis rejoue et gagne. (bénéfice = 2)
* Il joue et perd, puis rejoue et reperd. (perte = 4)
La probabilité de la première issue est 0,45.
Celle de la deuxième issue est 0,55*0,45 (probabilité de perdre la première multipliée par proba de gagner la deuxième)
Celle de la troisième issue est 0,55*0,55.
L'espérance est donc E(2)=1*0,45+2*0,55*0,55-4*0,55*0,55=-0,32
Et ainsi de suite... en fait, quand on regarde ce qui se passe, l'espérance est toujours négative et ne fait que décroître. Autrement dit, plus le joueur a d'argent à jouer, plus il va avoir de perte en moyenne.
C'est hyper troublant, parce que comme on l'a vu plus haut E(infini) est positif (et même infini, en fait, puisque le joueur peut décider de jouer une infinité de parties, chaque partie s'arrêtant quand il a enfin fait un bénéfice), alors que pour tout entier n, E(n) est négatif, et pire, E(n) décroît quand n croît. (Et, à première vue, il me semble que E(n) tend vers -infini.)
Alors, il y a une erreur dans mon raisonnement ou pas ? Et sinon, par quel miracle cela est-il possible que plus on est d'argent plus on perd mais que si on n'ait pas de limite, on soit gagnant ?
Merci d'avance pour vos réponses.
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