Fonction de transfert d'un polynôme

[TomVM]

Bonjour à tous,

Je vais essayer de faire simple :
J'ai caractérisé un système comportant une pompe hydraulique et une perte de charge placée en aval. J'ai obtenu donc des mesures de débits en fonction de la tension de la pompe mais aussi en fonction de la perte de charge placée après la pompe (En gros, j'ai figé ma tension et j'ai mesuré le débit en sortie de pompe pour différentes pertes de charges et ensuite, j'ai figé la perte de charge et j'ai fait varier la tension). De ce fait, j'ai pu obtenir une expression entre Tension V, Débit Q et Perte de charge (Pression) P.

Voici l'expression que j'ai : V=a0+a1*P+a2*P²+a3*Q

Jusque là, tout va bien !

Mais ça se complique : Je dois maintenant faire l'étude de mon système afin de créer un correcteur PI pour réguler le système. Pour ça, j'ai fait le schéma bloc dans Simulink et j'ai envie de passer en Laplace et de trouver la fonction de transfert de ce système. La régulation se fera avec un débit fixe donc je veux F(p)=P(p)/V(p).

Seulement voilà : Comment on passe un polynome en Laplace ? J'ai absolument rien trouvé la dessus... Any idea ?

Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tu connais les TL des puissances de x, et la TL est linéaire.
Tu travailles bien sur des fonctions causales ?

Cordialement.

[TomVM]

Bonjour gg0 et merci pour ta réponse !

La fonction est bien causale car définie sur R et bornée à gauche (P et Q appartiennent à R+ et lorsqu'ils sont nuls, V=a0)

Par contre, Je ne comprends pas trop la transformée de Laplace de la fonction puissance... Enfin je ne vois pas comment l'appliquer ici... Peux-tu expliciter stp ?

[gg0]

On trouve ça dans tous les cours, ou encore ici en déroulant la partie "Quelques transformées usuelles":
La TL de est:


C'est bizarre que tu poses cette question : Si tu veux employer un outil, tu dois commencer par apprendre à t'en servir !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Bonjour,
Apparemment, ceci est la suite du fil "Trouver f(x,y) avec un tableau de point ".
Ce serait intéressant que vous expliquiez comment vous avez trouvé cette fonction de V, ce qui était la question posée.

[stefjm]

Voici l'expression que j'ai : V=a0+a1*P+a2*P²+a3*Q

En Laplace, je ne le sens pas du tout...
Ce n'est pas causal à cause de a0 non nul et donc de V non nul si P et Q nuls.
Le P^2 est une non linéarité pas pratique du tout en Laplace.

Et j'ai l'impression que les polynômes dont parle gg0 sont des polynôme en temps et non en grandeur P.

A moins qu'il n'existe des techniques utilisant la TL de cette façon, techniques que je ne connais pas.

[gg0]

J'avais compris que P et Q sont des variables. Si ce sont des fonctions du temps, ça va devenir coton !

[stefjm]

Il est question de fonction de transfert en Laplace P(p)/V(p), donc pour moi, de signaux temporel p(t) et v(t).

Mais des fonctions de transfert à partir de relations NON linéaires, je ne sais pas faire.

Il va nous falloir des éclaircissements pour aider efficacement.

[TomVM]

Merci à tous pour vos réponses !

Dlzlogic, j'ai retrouvé cette fonction en faisant une régression linéaire multiple à partir d'une série de données que j'ai mesuré expérimentalement. Au début, je pensais faire une régression linéaire du style V=a0+a1*P+a2*Q mais je me suis retrouvé avec une erreur quadratique moyenne de 0,5, ce qui n'est pas top... Avec la relation V=a0+a1*P+a2*P²+a3*Q, mon erreur est descendue à 0,1. C'est pour ça que je voudrais travailler avec cette expression.

Stefjm, en effet, la tension, la pression et le débit dépendent du temps... Dans mon système, je vais fixer le débit max avec un réducteur de débit. De ce fait, en régime établi, la pression ne dépendra que de la tension. Je cherche donc à trouver une fonction de transfert liant v(t) et p(t), comme tu l'as déduit dans ton dernier message.

Mon objectif final est de trouver les pôles et les zéros de mon système et de tracer le diagramme de Bode pour ensuite, synthétiser un correcteur PI pour avoir une régulation autour d'une pression cible définie par l'utilisateur.

Merci encore pour votre aide !

[stefjm]

Pôle et zéro d'un système linéaire, donc pas de P^2 pour la pression.
Une possibilité simple est de linéariser autour de votre point de fonctionnement.

[TomVM]

Le problème c'est que mes essais expérimentaux ont été fait autour du point de fonctionnement de ma pompe... C'est une pompe 0 - 40V et ma pression sera comprise entre 0 et 12 Bars. Et en linéarisant avec l'expression V=a0+a1*P+a2*Q, j'ai carrément 3V d'écart pour certaines valeurs... C'est pour ça que je voulais utiliser cette expression en P²...

[Dlzlogic]

Bonjour TomVM,
Ce serait tellement plus facile si vous donniez la liste de vos résultats expérimentaux, c'est à dire la liste de tous les triplets observés.
Puis que vous disiez ce que vous voulez obtenir, avant de donner la méthode pour l'obtenir.
Alors on pourrait vous aider.

[TomVM]

Bonjour Dlzlogic,

Voici la liste des résultats que j'ai eu expérimentalement. Maintenant, je veux trouver une formule me permettant de lier la tension au débit et à la pression. Puis, je vais devoir faire la modélisation de ce système, sous forme de schéma bloc (donc en Laplace) avec comme entrée du bloc la tension de commande et en sortie la pression (sachant que dans mon système final, je vais avoir un limitateur de débit à 85L/h en sortie de pompe donc en régime établi, je peux faire l'hypothèse que le débit est fixe à 85L/h).

Resultats.txt

[Dlzlogic]

Je ne comprends pourquoi vous cherchez des complications.
Ci dessous 8 formules testées, la première, linéaire est manifestement la meilleure.

Cas traité 1 (Axe X nbp=187) A=1.319 B=0.306 C=-0.768 emq=0.537 (vérifier le N° 187)
Cas traité 2 (Axe X nbp=187) A=6.925 B=0.306 C=-5.010 emq=0.659 (vérifier le N° 187)
Cas traité 3 (Axe X nbp=187) A=28.485 B=9.915 C=-168.906 emq=43.503 (vérifier le N° 132)
Cas traité 4 (Axe Z nbp=187) A=0.058 B=0.014 C=1.939 emq=2.473 (vérifier le N° 1)
Cas traité 5 (Axe X nbp=187) A=155.208 B=9.915 C=-269.881 emq=46.069 (vérifier le N° 132)
Cas traité 6 (Axe Z nbp=187) A=0.046 B=0.220 C=2.023 emq=6.502 (vérifier le N° 177)
Cas traité 7 (Axe X nbp=187) A=0.713 B=0.015 C=1.030 emq=4.035 (vérifier le N° 9)
Cas traité 8 (Axe X nbp=187) A=5.677 B=0.429 C=-7.914 emq=90.170 (vérifier le N° 11)

Le meilleur 1 A=1.32 B=0.306 C=-0.768 (emq=0.54)
formule : X = A * Y + B * Z + C

L'écart le plus grand que j'ai vu est i.78 V pour le dernier triplet.

[TomVM]

Bonjour Dlzlogic,

Pourriez vous me dire quel logiciel vous avez utilisé pour trouver ces résultats SVP ?

De mon coté, j'avais aussi fait une régression linéaire du même genre et j'ai obtenu les mêmes résultats que votre premier cas traité. Mais étant donné qu'on a une erreur de 1,78V (20% d'erreur par rapport au 8V à trouver), je ne trouvais pas ça suffisant. J'ai donc prolongé mon raisonnement en me disant que je pouvais exprimer ma tension sous la forme : V=a0+a1*P+a2*Q+a3*P*Q (en gros, j'estime que le coefficient lié à la pression varie linéairement en fonction du débit: V= a0+f(Q)*P+a2*Q avec f(Q) = a*Q+b)

J'obtiens alors : Tension = 2,591 + 0,7189 Pression + 0,009038 Débit*Pression + 0,2567 Débit et RMSE*= 0,24

C'est mieux mais j'ai voulu pousser encore plus loin et exprimer ma tension sous forme : V=a0+a1*P+a2*P²+a3*Q+a4*Q*P+a5 *Q*P²
Et la j'ai : Tension = 3,056 + 0,5754 Pression + 0,009786 Pression² + 0,2897 Débit - 0,004925 Q*P + 0,001345 Q*P² avec RMSE*= 0,11

Voilà mon raisonnement...

[stefjm]

Les termes non linéaires en P^2 et Q.P vont poser soucis pour un traitement par transformée de Laplace.

[Dlzlogic]

Bonjour Tom,

*** Autopromotion ***

Pour en revenir à votre sujet, les valeurs qui dépassent 1 volt de différence sont en limite de liste. L'emq est 0.54, donc la moitié des écarts sont inférieurs à 0.32 V donc plus précis que le dernier chiffre significatif. Que voulez-vous de mieux ?

[TomVM]

Stefjm,
En effet, c'est le problème que j'ai lorsque j'utilise une expression avec de P² ou des Q*P... Je n'arrive pas à trouver une transformée de Laplace...

Dlzlogic,
En effet, l'erreur est minimum lorsque je me situe aux alentours des 5 Bars... Mais j'ai quand meme des erreurs assez importantes lorsque je suis aux alentours de 8 Bars (11% pour le cas 10V 5L/h 8 Bars ce qui fait 1,15V de différence). J'aurais voulu allez plus loin et trouver une meilleure fonction... Et puis d'un point de vue curiosité personnelle, comment fait-on avec un système du type Y=AX²+BX+C à représenter en Laplace...

Disons que pour le moment, je peux toujours faire mon étude avec une expression V=a0+a1*P+a2*Q et voir ce que ça donne...

Merci beaucoup pour votre aide en tout cas !

[stefjm]

Pour les produits de grandeurs temporelles, cela donne des produits de convolution en complexe, le long d'un contour : Il faut aimer...
f(t)g(t) se transforme en


https://fr.wikipedia.org/wiki/Transf...ion_de_Laplace

Personnellement, je ne m'en suis jamais servi dans ce sens là. On passe en Laplace pour transformer les produits de convolution temporel (solution des systèmes linéaires) en produit simple en Laplace.

Peut-être que quelqu'un saura, ici ou en électronique.

[azizovsky]

comment fait-on avec un système du type Y=AX²+BX+C

avec le théorème de linéarité :

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[PrRou_]

Voici la liste des résultats que j'ai eu expérimentalement. Maintenant, je veux trouver une formule me permettant de lier la tension au débit et à la pression. Puis, je vais devoir faire la modélisation de ce système, sous forme de schéma bloc (donc en Laplace) avec comme entrée du bloc la tension de commande et en sortie la pression (sachant que dans mon système final, je vais avoir un limitateur de débit à 85L/h en sortie de pompe donc en régime établi, je peux faire l'hypothèse que le débit est fixe à 85L/h).

Pièce jointe 336521

bonsoir TomVM,
est-ce que la pression possède une limite théorique de l'ordre de 35 ?

[PrRou_]

Je pose cette question car les valeurs (entières) de tension T dans votre fichier sont obtenues de manière exacte par cette formule :

Tension = arrondi à l'entier le plus proche de (9 Débit + 13 Pression + 122) / (35 - Pression)

Je précise que je n'ai pas obtenu cette formule par le hasard d'un test heuristique, mais d'une analyse du lien entre Débit et Pression quand la Tension est fixée. Par ailleurs, on voit que ce modèle implique une Pression inférieure à 35 bars... Alors, est-ce vraiment le cas dans la réalité ?

[TomVM]

Bonjour PrRou,

Physiquement, c'est impossible que la pression dépasse les 14 Bars car le bypass de la pompe est fixé à cette valeur (au dela d'une certaine pression, la pompe n'arrive plus à pousser et la pression n'augmente donc plus). Donc votre hypothèse est juste ! En revanche, je ne vois pas trop comment cette expression (V=round((9*Q+13*P+122)/(35-P)) sera plus simple à utiliser que celle que j'avais avant...

[PrRou_]

Bonjour

je vous propose cette formule Tension = (9 Débit + 13 Pression + 122) / (35 - Pression)

car elle est un peu plus précise que la vôtre, et surtout, elle résulte d'une propriété importante (il me semble) :
quand la tension est fixée à une valeur t, les points (Pression, Débit) sont alignés sur une droite, je note cette droite D_t.
De plus, toutes les droites D_t sont concourantes (en un point où Pression = 35 environ) . Votre tableau de résultats montre cela, et la formule que j'ai donnée en découle directement.

A contrario, je ne sais pas si vos formules (avec ou sans carrés) reflète des propriétés physiques...

Maintenant que j'ai expliqué d'où je tirais ma formule, j'avoue que je n'ai pas compris où vous vouliez en venir. Vous parlez de transfo de Laplace, mais il y a plusieurs variables... Pouvez expliquer à nouveau votre but ?

[PrRou_]

Petite question : quand la Pression et le Débit sont nuls en même temps, que vaut la Tension ?

[azizovsky]

Bonjour, est ce que tu as une idée du point de fonctionnement d'une pompe : intersection de sa caractéristique avec celle qui représente les pertes de charges?

ps: une relation pour la pompe si ma mémoire ...

par analogie, on pose et (2) pour les pertes de charge.

tu fait les incertitudes sur V et tu remplace ....

tu aura une idée de ce que tu manipule ....