Nombres complexes

[HaddockFR_UK]

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire pour la semaine prochaine et ai besoin de votre aide sur ma démarche pour répondre à un premier exercice.
Merci de valider ma démarche ou bien d'expliquer les erreurs commises.


Ci-après, l'énoncé et les 2 questions:
On considère le nombre complexe a=(-sqrt(3)+i)^2013
1) Déterminer la forme exponentielle de (-sqrt(3)+i)
2) Montrer que a est un imaginaire pur

1) Je passe les détails car je sais bien faire cette partie.
J'obtiens a=(2*e^(5i*pi/6))^2013

2) a = 2^2013*e^(10065i*pi/6) = 2^2013*e^(3355i*pi/2)
On a a = k*e^(n*pi/2) donc on peut dire que a est un imaginaire pur.

Merci de confirmer parce que ça me gène de ne pas pouvoir m'occuper de 2^2013...
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[gg0]

Bonjour.

-1=k*e^(n*pi/2), 1=k*e^(n*pi/2), crois-tu que ce sont des imaginaires purs ?
Il te reste à finir le travail en utilisant les propriétés de ton cours, par exemple voir ce qu'est un imaginaire pur.

Cordialement.

[HaddockFR_UK]

Bonsoir gg0,

Non 1 et -1 ne sont pas des nombres imaginaires purs.

Dans le cours, j'ai uniquement un graphique avec les nombres imaginaires purs sur l'axe des ordonnées: sous forme exponentielle, on a donc e^(i*pi/2) au dessus de 0; en dessous de 0, on a e^(-i*pi/2).

PS: Autrement, j'ai pensé à le passer sous forme algébrique. Mais ça me semble impossible


Pour rappel, on a: (-sqrt(3)+1)^2013 = 2^(2013) * e^(10065 i*pi/6) = 2^(2013) * e^(3355 i*pi/2)


Merci de ta réponse.

[gg0]

Il va falloir que tu revoies ce que sont les arguments d'un complexe ! e^(3i*pi/2) est un imaginaire pur. Et aussi regarder comment est le module d'un imaginaire pur.
Tu pourras en déduire facilement tous les arguments des imaginaires purs. Et finir immédiatement ton exercice.

Bonne réflexion !

[A voir en vidéo sur Futura]