Bonjour,
On sait qu'un rectangle définit une ellipse inscrite.
Si ce rectangle est transformé en parallélogramme, que devient l'ellipse ? Je pense (j'en suis sûr) que ce n'est plus une ellipse.
Ce qui me parait intéressant est que, avec une affinité, un carré est transformé en un rectangle, et le cercle inscrit en une ellipse.
Maintenant si on applique une transformation affine (T+H+R+A) le rectangle sera transformé en parallélogramme et l'ellipse, je ne sais pas.
Bonsoiir. C'est une affirmation bien rapide. As-tu une preuve de cela ? un contre-exemple ?Envoyé par Dlzlogic
Bonsoir,
Il y a eu une question concernant un "parallélogramme d'incertitude". C'est une expression que je ne connaissais pas. On peut parler de façon impropre de rectangle d'incertitude, c'est impropre, puisqu'il s'agit forcément d'ellipse d'incertitude. Donc, je me suis posé la question lorsque le quadrilatère était un parallélogramme au lieu d'un rectangle, ce que cela pouvait donner. C'est pas plus compliqué que cela.
Donc ma question,telle qu'elle est posée, sur le plan strictement géométrique, que devient une ellipse dans une transformation affine.
Une transformation affine correspond à un changement de repère. Donc une ellipse reste une ellipse, possiblement dégénérée (= un cercle). En effet : si on s’intéresse à l'équation cartésienne, il n'est pas trop dur de voir qu'il s'agit toujours d'une conique, et la transformation affine conserve le caractère borné : une conique bornée est une ellipse (ou un cercle).
Bonsoir Tryss,
Sauf erreur, une des caractéristiques de l'ellipse est d'avoir deux axes de symétrie perpendiculaires. Or la transformation affine ne conserve pas les angles. C'est d'ailleurs la raison principale pour laquelle les services du cadastre l'ont longtemps refusée comme transformation de calage de plans. Je me demande si tu ne confonds pas avec l'affinité.
Pour le visualiser, il suffit de dessiner un rectangle et l'ellipse inscrite. Puis le parallélogramme résultat de la transformation du rectangle par une transformation affine. Je ne pense pas que la transformée de l'ellipse inscrite dans le rectangle soit une ellipse inscrite dans le parallélogramme.
En fait, c'est ma question.
Pour mémoire, la transformation affine est le produit d'une translation, d'une affinité, d'une rotation et d'une homothétie.
Tu peux penser ce que tu veux, mais as-tu fais les calculs que je t'ai proposé de faire?
C'est de la géométrie assez facile. Notons f une transformation affine, C1 une ellipse et C2 = f(C1) . Tryss2 a prouvé que C2 est une ellipse (conique bornée) !
Erreur de raisonnement sous-jacent : les deux axes (perpendiculaires) d'une ellipse C1 ne sont pas envoyés sur les deux axes (perpendiculaires) de l'ellipse image f(C1).
Je répète : tu ne penses pas, tu es sûr, ok, mais as-tu un seul vrai contre-exemple à proposer ? as-tu fait un seul calcul ? (je m'associe au message de Tryss2 juste ci-dessus)
Justement, l'image d'une ellipse par ces 4 types de transformation est une ellipse (le moins trivial est le cas d'une transformation par affinité, mais cela reste simple).
Dernière modification par bon prof math ; 20/03/2017 à 02h50.
Bonjour,
J'avoue que ne vois pas les calculs que j'aurais pu ou dû faire.
Soit une transformation affine dans le plan, faisant correspondre à tout point p[x,y] un point P[X,Y]. La formule de transformation est la suivante
X = TX + Ax + By
Y = TY + Cx + Dy
Les paramètres TX, TY, A, B, C, D sont les paramètres de la transformation affine.
Cette transformation conserve les rapports de distance, main ne conserve pas les angles.
Donc un rectangle sera transformé en un parallélogramme.
Je reprends la réponse de Tryss
Il me semble qu'un changement de repère est caractérisé par un vecteur (ie un bipoint orienté).Une transformation affine correspond à un changement de repère.
Dans le cas présent il FAUT 3 points pour définir une transformation affine.
Je pose la question autrement : supposons qu'on ait une fonction que trace une ellipse inscrite dans un rectangle, cette fonction sera-t-elle utilisable dans un parallélogramme ?
Et bien tu peux te renseigner sur les coniques. Tu verras que l'équation cartésienne d'une conique s'écrit
Si tu fais un changement de repère, i.e. poseet
tu vas obtenir une nouvelle équation cartésienne que vérifie les points de l'ellipse dans le nouveau repère
Tu peux donc constater que l'image d'une conique par une transformation affine est bien une conique. Il reste à ajouter que puisque la conique de départ est une ellispe elle est bornée,
que par conséquent la conique image est bornée et donc que la conique image est une ellipse.
Je rappelle la formule de la transformation affine :
X = TX + Ax + By
Y = TY + Cx + Dy
Il y a 6 paramètres et non pas 4.
Exact, j'ai tapé trop vite. Il suffit de lire
Le reste est parfaitement valable.
P.S : c'est beaucoup plus efficace d'écrire ça sous forme matricielle : X' = A X + b.
quand on affirme quelque chose, on fournit une preuve : soit on démontre de manière générale que la proposition est vraie (ce qu'a fait Tryss2, relayé par feanorel ; je t'ai également indiqué un preuve en passant par une décomposition T+H+R+A), soit on prouve que la proposition est fausse par un contre-exemple (concret, avec calculs explicites des axes, de l'image, etc.) .
Tu n'as fait ni l'un ni l'autre... Tu ne sens pas la nécessité de fournir une preuve ? (autre que "je suis sûr que")
Dernière modification par bon prof math ; 20/03/2017 à 15h21.
Bonsoir
Les réponses mathématiques ayant été fournies par Tryss2, feanorel et bon prof math, ce fil n'a plus aucune raison de perdurer
Médiat, pour la modération
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
