Quelques incompréhensions sur l'algèbre linéaire.

[Stefan77]

Bonjour à vous, je rencontre quelques incompréhensions avec l'algèbre linéaire.
Tout d'abord, quelle est la différence entre famille libre et génératrice? D'après ce que j'ai lu sur internet, c'est la même chose. Nous avons une somme nulle d'un côté, et une somme égale à un vecteur de l'autre.
Ensuite, je voudrais savoir comment conclure sur un cas de figure que j'ai rencontré en exercice. Je devais dire si les vecteurs u1, u2 et u3 (x, y et z) étaient libres ou liés. Je fais donc mes 3 équations que je résous sans grandes difficultés, j'exprime tout en fonction de la même variable et lorsque je remplace dans mes 3 équations, je trouve 0=0. Etant donné que je n'ai pas a, b ou c = 0 je dois en conclure que la famille est liée?
Enfin, avec des fonctions comment je dois procéder pour conclure sur le type de famille? Je pense avoir une idée mais je ne suis pas sûr de moi.
Par exemple, cos(x) et sin(x) sont libres, car il n'existe pas de valeur de x pour laquel a*cos(x) + b*sin(x)=0. Donc le seul moyen c'est a=b=0.
Cependant, pour exp(x) et exp(-x), a*exp(0) + b*exp(-0)=0 quelques soient a et b. Donc la famille est liée.
Me suis-je trompé dans les raisonnements ci-dessus?
Merci de vous réponses et bonne journée.
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[ansset]

bjr,
d'abord , l'algèbre linéaire concerne les espaces vectoriels . tes remarques sur les fonctions à fin tombent à coté du sujet. ( les sin et cos , etc ....)
une famille génératrice n'est pas forcement libre.
en gros , il peut y avoir redondance dans le nb vecteurs ( certains peuvent être colinéaires ), en revanche chaque vecteur de l'espace doit pouvoir s'écrire sous forme de combinaison des éléments de la famille.
Une famille libre est simplement constituée de vecteurs indépendants.
si une famille est génératrice ET libre, alors c'est une base de l'espace considéré.

[pm42]

d'abord , l'algèbre linéaire concerne les espaces vectoriels . tes remarques sur les fonctions à fin tombent à coté du sujet. ( les sin et cos , etc ....)

Les fonctions de R dans R ne sont pas un espace vectoriel de dimension infinie ?

Cependant, pour exp(x) et exp(-x), a*exp(0) + b*exp(-0)=0 quelques soient a et b. Donc la famille est liée.

Tu es sur ? De plus, on parle d'identité de fonction, pas de valeur prise par les fonctions en 1 point. Il faut dire "pour tout x". Par exemple, x et 3x sont liés. x et 1/x non.

[Tryss2]

@ansset : les fonctions sont bien les éléments d'un espace vectoriel...

Enfin, avec des fonctions comment je dois procéder pour conclure sur le type de famille? Je pense avoir une idée mais je ne suis pas sûr de moi.
Par exemple, cos(x) et sin(x) sont libres, car il n'existe pas de valeur de x pour laquel a*cos(x) + b*sin(x)=0. Donc le seul moyen c'est a=b=0.
Cependant, pour exp(x) et exp(-x), a*exp(0) + b*exp(-0)=0 quelques soient a et b. Donc la famille est liée.
Me suis-je trompé dans les raisonnements ci-dessus?

Oui, tu te trompes.

Quand tu considère l'espace vectoriel des fonctions, tes vecteurs sont des fonctions. Il faut donc que la combinaison linéaire des fonctions soient égale à la fonction nulle. C'est à dire

Quel que soit x , on a a*exp(x) + b*exp(-x) = 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Stefan77]

Mais le gros point que je ne comprends pas c'est pourquoi ne pas toujours mettre a=b=0 et c'es réglé ?
Merci pour les premières réponses à ce propos !

[pm42]

Mais le gros point que je ne comprends pas c'est pourquoi ne pas toujours mettre a=b=0 et c'es réglé ?

Tu devrais relire ton cours et les définitions qui doivent préciser que c'est précisément une des conditions, que a et b soient non nuls.

[feanorel]

Une famille est liée si un élément est combinaison linéaire des autres. Une famille est libre si elle n'est pas liée. Donc aucun de ses éléments n'est combinaison linéaires des autres.
En d'autres termes chaque élément d'une famille libre explore une "nouvelle dimension" de l'espace.

Une famille est génératrice si tous les vecteurs peuvent s'écrire comme combinaison linéaires des éléments de la famille.

"Exemple" sur un jeu vidéo : la famille (avancer d'1m vers le nord, avancer d'1m vers le sud) est liée (l'un est l'opposé de l'autre).
La famille (avancer vers le nord, avancer vers l'est) est libre. Elle est génératrice du plan en 2 dimension.
La famille (avancer vers le nord, avancer vers le Nord-Est) est libre. Elle est génératrice du plan en 2 dimension. Exemple : si tu veux avancer vers l'est tu vas vers le Nord - Est, puis vers le sud (qui est vers le nord multiplié par -1)
La famille (avancer vers le nord, avancer vers l'est, avancer vers le Nord-Est) est liée. Il suffit d'avancer vers le nord puis vers l'est pour avancer vers le nord est.
La famille (avancer vers le nord, avancer vers l'est, monter vers le haut) est libre et génératrice de l'espace en 3D.

[ansset]

@ansset : les fonctions sont bien les éléments d'un espace vectoriel...

exact, j'ai simplifié pour illustrer la diff entre base libre et base génératrice. ( question initiale)

[Stefan77]

Ça devient plus clair, merci

[redrum13]

Tout a été dit! Quel veinard.

*Une famille libre ne pourra jamais former le vecteur nul, sauf si ses facteurs formant sa CL sont *tous* nuls.
*Une famille génératrice génère un ev. Elle peut très bien former le vecteur nul.

*Si tu as une famille de 3 vecteurs libres, alors elle génère R3. Pareil pour 4 vecteurs avec R4, et n pour Rn.

*Pour déterminer qu'une famille génère un ev, il faut montrer que tout vecteur de cet ev s'écrit comme CL des vecteurs de cette famille.
Par exemple pour générer R6, il faut au minimum 6 vecteurs.

[redrum13]

Mais le gros point que je ne comprends pas c'est pourquoi ne pas toujours mettre a=b=0 et c'es réglé ?
Merci pour les premières réponses à ce propos !

On cherche à prouver qu'il est impossible de former le vecteur nul. Sauf exception, à affecter 0 à tous les facteurs. Si tu dis a=b=0 alors tu dis "j'ai fait le vecteur nul!"
Réponse: bah ok mais ça marche avec tout