Questions très basiques de topologie

[freemp]

Bonjour,

J'aurai des questions très basiques de topologie (principalement des petites preuves à réaliser ou des petites questions sur des définitions/thm), je crée donc ce topic pour ça.

Mes questions seront probablement évidentes mais la topologie c'est vraiment pas mon fort donc soyez indulgent

Première question :

http://licence-math.univ-lyon1.fr/li...ues_1_comp.pdf

Il s'agit de montrer la proposition de la page 7 :

"Un sous ensemble U de X est un ouvert ssi U est un voisinage de chacun de ses points".

Pour le sens direct c'est immédiat puisque pour tout x de U, x inclus dans un ouvert U donc U est bien un voisinage de x.
Pour la réciproque :

On part de :
ouvert tel que

Donc : .

Et on a : car

Donc : et .

Alors :

Et comme par postulat une réunion d'ouvert est un ouvert, U est un ouvert.

Êtes vous d'accord avec moi ?

Merci.
-----

[Tryss2]

Oui, c'est correct et ta démonstration est claire.

[freemp]

Super, merci.

[minushabens]

Tu as changé un peu l'énoncé puisque tu poses dès le départ que V(x) est ouvert. Pour pinailler il faudrait dire que V(x) contient un W(x) ouvert et raisonner sur l'union des W(x) (ok c'est trivial)

[A voir en vidéo sur Futura]

[freemp]

J'aurai une autre question :

Dans le cours http://licence-math.univ-lyon1.fr/li...ues_1_comp.pdf
on donne deux définitions d'ouverts (la définition via espace topologique 1.3.1 et la définition via les boules ouvertes 1.3.2.1).

On a donc deux définitions différentes.

Et j'ai l'impression qu'elles ne sont pas équivalentes puisque si on regarde le théorème 1.3.2.3 en fin de pdf, on voit que SI on a des ouverts avec la définition faisant appel aux boules ouvertes, ALORS on a un espace topologique séparé (et donc on a quelque chose de plus restrictif vis à vis des ouverts que via leur définition faisant appel aux espaces topologiques).

Mais j'étudie en fait un bouquin (Géométrie topology and physics par Nakahara) qui utilise la définition des ouverts via les espaces topologique, et il fait tout son chapitre de topologie avec ça.

En revanche dans le pdf donné en lien ici, il utilise la définition des ouverts faisant appel aux boules ouvertes pour faire son cours.

Ceci m'amène à me demander si la définition utilisée par le bouquin de Nakahara est bien la bonne et n'est pas trop restrictive (auquel cas il aurait fallu définir les ouverts via les boules ouvertes) ? (Par exemple est ce qu'on peut tout définir comme la continuité, la densité etc en utilisant la définition des ouverts via espaces topologiques ou bien on est limité ?).

J’espère que ma question est claire, sinon je la reformule.

A bientôt.

[freemp]

@Minushabens

Oui je suis d'accord j'ai juste raccourci un peu.

[Tryss2]

Tu as changé un peu l'énoncé puisque tu poses dès le départ que V(x) est ouvert. Pour pinailler il faudrait dire que V(x) contient un W(x) ouvert et raisonner sur l'union des W(x) (ok c'est trivial)

Moi je ne suis pas d'accord, c'est très bien comme ça. Si U est un voisinage de x, par définition, il existe un ouvert V(x) inclus dans U qui contient x. Il n'y a strictement aucun intérêt à considérer un voisinage quelconque de x contenu dans U

Et j'ai l'impression qu'elles ne sont pas équivalentes puisque si on regarde le théorème 1.3.2.3 en fin de pdf, on voit que SI on a des ouverts avec la définition faisant appel aux boules ouvertes, ALORS on a un espace topologique séparé (et donc on a quelque chose de plus restrictif vis à vis des ouverts que via leur définition faisant appel aux espaces topologiques).

[...]

Ceci m'amène à me demander si la définition utilisée par le bouquin de Nakahara est bien la bonne et n'est pas trop restrictive (auquel cas il aurait fallu définir les ouverts via les boules ouvertes) ? (Par exemple est ce qu'on peut tout définir comme la continuité, la densité etc en utilisant la définition des ouverts via espaces topologiques ou bien on est limité ?).

Oui, tout espace métrique est séparé. Mais il existe des espaces topologiques qui ne sont pas métriques. Les espaces métriques sont juste un cas très particulier d'espaces topologique.

Mais sinon, oui, on peut définir la continuité, la densité, la compacité, etc. dans des espaces topologiques généraux.

Par exemple, on dit que la fonction f:X -> Y (ou X et Y sont deux espaces topologiques) est continue si quelque soit l'ouvert U de Y, f^(-1)(U) est ouvert (pour la topologie de X).

[freemp]

Ah d'accord donc si je travaille dans un espace métrique il est forcément séparé, et donc les deux définitions d'ouverts sont équivalentes c'est bien cela ?

Le : Un ouvert via la définition des boules est un ouvert via la définition de l'espace topologique je le vois bien grâce au thm en fin de pdf.

Mais comment on prouve l'autre sens ? Qu'un ouvert via la définition de l'espace topologique pour un espace métrique est bien un ouvert au sens de "on peut trouver une boule incluse dans l'ensemble en chaque point de l'ensemble" ?

[gg0]

Attention, Freemp,

sur un ensemble quelconque, il y a généralement plusieurs topologies possibles, une infinité si l'ensemble est infini. Donc su tu prends un espace métrique (E,d), et une topologie T sur E, il n'y a aucune raison que les boules soient ouvertes. Et même si toutes les boules sont des ouverts, T n'a pas de raison d'être la topologie associée à la distance. par exemple la topologie discrète sur E (toutes les parties sont ouvertes, T=P(E) ) rend toutes les boules ouvertes.

la notion de topologie sur un ensemble quelconque généralise les notions intuitives d'ouverts et de fermés, de continuité et de limites, mais justement permet bien plus de cas "bizarres" que la topologie métrique.
Cependant, certaines topologies sont "métrisables", c'est à dire qu'on peut trouver une distance qui donne comme topologie associée celle de départ. Par exemple, la topologie discrète sur E (un ensemble) est métrisable, elle est associée à la distance d définie par d(x,x)=0 et d(x,y)=1 si x#y.

Cordialement.

[minushabens]

Moi je ne suis pas d'accord, c'est très bien comme ça. Si U est un voisinage de x, par définition, il existe un ouvert V(x) inclus dans U qui contient x. Il n'y a strictement aucun intérêt à considérer un voisinage quelconque de x contenu dans U

oui tu as raison et c'est moi qui ai changé l'énoncé, j'avais compris: U contient un voisinage de chacun des es points.

[minushabens]

Ah d'accord donc si je travaille dans un espace métrique il est forcément séparé, et donc les deux définitions d'ouverts sont équivalentes c'est bien cela ?

tu ne peux pas dire ça: dans la définition d'un espace topologique, il n'y a pas à proprement parler de définition d'un ouvert. On décide que certaines parties sont ouvertes c'est tout. Dans les espaces métriques on les définit par la propriété que tu sais et on montre que l'ensemble des "ouverts" au sens métrique constitue bien une topologie.