Comptage des points rationnelles d'une courbe elliptique.

[invite34915237]

Bonjour,

Savoir compter les nombres des points rationnelles d'une courbe elliptique (), est-il un problème ouvert ?

Merci.
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[minushabens]

C'est une question assez pointue, je ne sais pas s'il y a des spécialistes ici. Ta question concerne des courbes elliptiques particulières (sans terme en z^2) mais avec des coefficients réels alors que les courbes étudiées pour leurs applications en arithmétique ont des coefficients rationnels.

[Tryss2]

Déjà, il est assez facile de voir qu'il n'y a pas de points rationnels si az+b n'est pas rationnel, ce qui est le cas pour presque tout les couples (a,b) (au sens de la théorie de la mesure)

[AncMath]

Tu parles des points R-rationnels, ou Q-rationnels ? Ou encore autre chose ?
Ca n'a pas de sens de parler des points k-rationnels pour une variété définie sur K, avec K une extension de k, c'est dans l'autre sens que c'est défini. Je te rappelle qu'un point K-rationnel d'une variété X sur k, c'est un k-morphisme de Spec K dans X.
Ici il n'y a aucun morphisme de Spec Q dans E, puisque cela te donnerait un morphisme de Spec Q dans Spec R, soit un morphisme d'anneau de R dans Q.

Tu peux parler des solutions rationnelles de ton équation, mais ca ne correspond à aucun aspect géométrique de la courbe que tu définis puisque cela dépend du paramétrage de la courbe, même si on se limite à une équation de Weierstrass.

Si tu veux parler des points R-rationnels, alors on connait très bien leur nombre : ils ont la puissance du continu.
Si tu veux parler des points Q-rationnels en définissant la courbe sur Q, on sait qu'ils forment une groupe abélien de type fini. On sait très bien gérer la partie de torsion de ce groupe, il y a toujours moins de 16 points de torsions en fait. La structure du groupe de torsion est donnée par un théorème profond de Mazur.

Pour la partie libre, c'est plus compliqué, on ne sait toujours pas si n'importe quel rang est possible, même si on sait depuis récemment et les travaux de Barghava qu'un courbe ellitpique sur Q "moyenne" est de rang inférieur à 1.
On ne sait toujours pas relier ce rang à l'ordre d'annulation de la fonction zêta de la courbe en 1, dans le cas général. Le meilleur resultat dans ce sens est toujours celui de Kolywagin, si une courbe elliptique rationnelle possède une fonction zeta dont l'ordre d'annluation en 1 est 0 ou 1 respectivement, alors la courbe a un rang de 0 ou 1 respectivement. Je dis Kolywagin mais en fait ce résultat est en partie dû a des travaux plus récents de Wiles, Breuil, Conrad, Taylor.
Si tu sais faire ca dans le cas general, alors tu obtiendras une médaille Fields sans trop de problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[andretou]

Si tu sais faire ca dans le cas general, alors tu obtiendras une médaille Fields sans trop de problème.

C'est jouable, mais Dattier n'a plus que 1 an pour y arriver...

[AncMath]

Certes. Je suis persuadé que quelqu'un qui résout ce problème ne sera pas laissé orphelin par la communauté mathématique quoiqu'il arrive. Ni lui ou elle, ni son compte en banque d'ailleurs !
C'est dommage que la discussion soit morte-née d'ailleurs il y a tant de chose passionnante à dire sur le sujet !

[minushabens]

bah oui mais apparemment il n'y a que toi ici qui y connaisse quelque-chose... cela dit si tu veux monologuer je suis sûr que plusieurs seront ravis d'apprendre...

[AncMath]

Qu'il n'y ait que moi je n'en suis pas sûr !
Mais c'est vrai que pour quelqu'un étranger au sujet cela doit paraître étonnant que tant de gens s’intéresse à ces courbes-ci dont la définition donnée par Dattier

semble aussi alambiquée que sortie de nulle part.

[andretou]

Pour ma part je souscris volontiers à l'appel de Minushabens !
Pourriez-vous nous dire quelques mots sur l'importance, les tenants et les aboutissants de ces courbes ?
Qu'ont-elles donc de particulier ?

[AncMath]

En quelques mots c'est difficile. L’intérêt du sujet vient de ce que ce sont à la fois des objets plutôt simples et très riches. Ce sont parmi les objets les plus versatiles de toutes les mathématiques et elles ont des interactions avec quasiment toutes les mathématiques.
D'un point de vue géométrique elles ont la propriété remarquable d'être à la fois des courbes et des variétés abéliennes : il existe dessus une structure de groupe qui conditionne toute leur géométrie. Cela permet de comprendre leur géométrie en termes combinatoires simples. Leur arithmétique est incroyablement riche et en lien avec quasiment tout ce qui existe en théorie des nombres : formes automorphes, théorie algébrique des nombres, géométrie diophantienne.
Elles ont aussi la particularité d'avoir un espace de module assez simple à manipuler.
C'est de très loin les variétés pour lesquelles on comprend le mieux le rôle que l'on est en droit d'attendre de leurs fonctions L.

Il y a 1000 autres raisons encore !

Accessoirement on peut les réaliser comme l'a dit Dattier, c'est à dire sous la forme de cubique projective donnée par l'équation sur un corps de caractéristique différente de 2 ou 3 et avec non nul. Mais si c'est une définition commode elle n'a que peu d’intérêt en soi. Une meilleur définition consiste à dire que ce sont les courbes projectives lisses de genre 1.

Je peux bien sûr développer ces points mais je doute que je puisse faire un meilleur travail que ce qui est déjà fait dans de très nombreux articles et livres qui leurs sont consacrés.

[ansset]

Je peux bien sûr développer ces points mais je doute que je puisse faire un meilleur travail que ce qui est déjà fait dans de très nombreux articles et livres qui leurs sont consacrés.

sans vouloir offenser personne, Datier semble avoir le talent de lancer des trucs comme ça, sans vraiment avoir ( je peut me tromper ) la connaissance ad hoc pour en discuter.

[invite34915237]

Salut,

Merci @tous les participants constructifs : avec une mention spéciale à AncMath, un clin d'oeil à Andretou (cela ce compte maintenant en mois), à Minushabens pour l'animation et à Tryss pour la précision.

Cordialement.

[invite34915237]

Salut,

Soit avec scindé sur à racine simple.

Déterminer le nombre de points rationnels de cette courbe ?

Cordialement.

[AncMath]

N'ai-je pas déjà répondu plus haut ?

[invite34915237]

Salut,

Je pense avoir une méthode de comptage, c'est pour cela que je le propose à votre sagacité.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Merci de regarder : http://forums.futura-sciences.com/ma...hematique.html

Médiat

[invite34915237]

Je propose un énoncé, et je ne prétends avoir un résultat nouveau.

[AncMath]

Salut,

Je pense avoir une méthode de comptage, c'est pour cela que je le propose à votre sagacité.

Cordialement.

Qu'est ce que tu veux dire par méthode de comptage exactement ? Comme j'ai dit plus haut si le nombre de solutions rationnelles est finie, on sait qu'il y a moins de 16 solutions et on sait les déterminer.
Ce qui est difficile c'est de déterminer le rang du groupe. Il existe des algorithmes dans certains cas, ils permettent souvent d'avoir une borne inférieur et parfois un résultat exact. C'est ce que tu te proposes de faire ?

[invite34915237]

Pourrais-tu me donner une preuve de cela ? (pour les au plus 16 points) Merci.

[AncMath]

C'est un théorème délicat de Mazur et en donner une preuve complète demanderait beaucoup de temps. Je peux donner une idée de la preuve cela dit.

Deja un premier résultat élémentaire est le théorème de Nagell-Lutz.
Si une courbe rationnelle est donnée par une équation de Weierstrass et si est un point de torsion alors et sont entiers et soit soit divise le discriminant de la courbe.

Cela donne déjà une borne effective au groupe de torsion de la courbe et permet de calculer avec un ordinateur les points de torsion.

Mazur prouve le raffinement suivant : si est un point de torsion sur une courbe elliptique rationnelle alors est d'ordre au plus 13. En fait il prouve plus que ca.

Le point crucial pour établir ceci est le fait que si est d'ordre premier plus grand que 17 alors est une extension non ramifiée d'une extension cyclotomique .
Mais d'un autre coté pour tout courbe elliptique rationnelle ayant un point de torsion d'ordre est isogène sur a une courbe elliptique ayant un point de torsion d'ordre et qui donne une extension ramifiée .

D'un autre coté on sait que le groupe des points de -torsion sur est isomorphe à . C'est un fait général pour toutes les variétés abéliennes. A l'aide du pairing de Weil on prouve que est isomorphe à en tant que -module. Ici est le groupe de Galois absolu de . On en déduit que le groupe des points de torsions rationnels est un groupe cyclique ou produit d'un groupe cyclique et d'un groupe d'ordre 2.

En conjonction avec le résultat de Mazur vu que 8 est la plus grande puissance de 2 plus petite que 13, on obtient le fait que la courbe ne peut avoir que 16 points de torsions rationnels.

En fait le théoreme de Mazur est encore beaucoup plus précise : il donne une liste de groupe possible pour le groupe de Torsion de .

Les preuves détaillés utilisent des choses moins élémentaires même si bien connues des spécialistes.
L'article original de Mazur se trouve ici : http://math.uga.edu/~pete/Mazur77.pdf

[invite34915237]

Salut,

Je parlais du nombre de points rationnels d'une courbe elliptique (et non de points de torsions).

Cordialement.

[AncMath]

C'est pas très sérieux comme remarque, si ?
De deux choses l'une soit le groupe des points rationnels est infini et donc il faut spécifier ce que t'appelle comptage comme je l'ai dit plus haut : détermines-tu le rang du groupe ? Soit le groupe des points rationnels est fini et c'est un groupe de torsion.

[invite34915237]

Merci, pour les infos.