developpement limites

[invitea19e35c1]

bonjour a tous ,
j'ai besoin d'un petit coup de main , je ne sais pas comment calculer le DL de x^sin(x) .
merci d'avance
-----

[jacknicklaus]

en quelle valeur ?

[ansset]

bjr,
en quel point?
je suppose que c'est en 0+ , pas dans le cas général ?
Cdt

[invitea19e35c1]

oui en 0 car en effet je veux calculer l'equivalent de sin(x)^x-x^sin(x) en 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[ansset]

pas simple ton affaire.....
sans vraiment avoir penché dessus je pense qu'il faut faire l'ensemble en même temps.
reste que visiblement la fct globale ( diff ) est nulle ainsi que sa dérivée ( en prolongement de la fct non définie en 0 )
jusqu'ou veux tu pousser ton équivalent en 0
uniquement le terme en x² ou plus loin ?

[jacknicklaus]

Pas simple en effet.
Les limites en 0+ de f(x), f'(x),f"(x),f"'(x) valent respectivement 0,0,0,.
Dans ces conditions, pas de DL en 0.

[invitea19e35c1]

en effet c'est un exercice de td , j'ai questionne le prof et m'a dit que , quand on la transforme en exponentielle je dois faire sin(x)+x-x pour a voir x^x comme dans la premier fonction , mais ca ne m'a pas vraiment aide , j'ai le probleme en (sin(x)-x)ln(x) car ln(x) n'a pas de DL en 0 .
je suis vraiment bloquee

[invitea19e35c1]

je ne sais pas a quel degre je dois m'arreter alors j'ai travailler jusqu'au degre 5

[stefjm]

en effet c'est un exercice de td , j'ai questionne le prof et m'a dit que , quand on la transforme en exponentielle je dois faire sin(x)+x-x pour a voir x^x comme dans la premier fonction , mais ca ne m'a pas vraiment aide , j'ai le probleme en (sin(x)-x)ln(x) car ln(x) n'a pas de DL en 0 .
je suis vraiment bloquee

Bonjour,
Il n'y a pas que les DL pour trouver seulement un équivalent.
On doit pouvoir faire un DL en gardant tel quel ln(x).
Le terme sera en x^3 vu la nullité des dérivées successives.
Un truc du genre

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[invitea19e35c1]

desole mais j'ai pas bien compris
commentje vais calculer le developpement limite si je garde ln(x)

[stefjm]

desole mais j'ai pas bien compris
commentje vais calculer le developpement limite si je garde ln(x)

Vous calculez les DL hors le ln(x) qui n'a pas de DL en 0.

en effet c'est un exercice de td , j'ai questionne le prof et m'a dit que , quand on la transforme en exponentielle je dois faire sin(x)+x-x pour a voir x^x comme dans la premier fonction , mais ca ne m'a pas vraiment aide , j'ai le probleme en (sin(x)-x)ln(x) car ln(x) n'a pas de DL en 0 .
je suis vraiment bloquee

(sin(x)-x)ln(x) est équivalent en 0 à -x^3/6.ln(x)

[invitea19e35c1]

oui en effet c'est la ou je me suis arretee mais pour sin(x)^x j'ai trouver sin(x)^x=(x^x)*(1-x^3/6-x^5/180+o(x^5))
donc je dois trouver quelque chode pour simplifier toute la fonction
pour x^sin(x)=(x^x)exp(-x^3/6+x^5/120)ln(x)
et c'est la ou je me bloque
je ne sais pas que faire

[ansset]

@stef:
OK et bien vu pour l'équivalent. ( qu'on peut éventuellement affiner )
je vous laisse continuer , jamais bon deux interlocuteurs en même temps.
je prendrais le relai si tu pars.
Cdt

[invitea19e35c1]

comment l'affiner
désolé j'ai des problèmes en ce qui concerne les termes en français

[ansset]

dans l'équivalent de stefjm : les hypothèses d'équivalent sont
sin(x) eq à x-(x^3)/6
e(x) eq à 1+x
ln(1+eps) eq à eps
et on garde les ln(x) seuls.
si on veut pousser plus loin, il faut prolonger ces équivalents à des degrés sup. ( comme tu essayes de le faire avec le sinus )
mais dans ce cas , il faut pousser tous les équivalents de manière homogène.

est ce que tu retrouves déjà le premier résultat de stef ?

[ansset]

ps : pas certain à 100% que ce soit totalement le cas dans son calcul.

[invitea19e35c1]

non malheureusement je n'ai pas pu le trouver

[invitea19e35c1]

non , malheureusement je n'arrive pas a le trouver

[ansset]

j'espère être clair.
A) x^sin(x)=e(sin(x)ln(x)) equiv à e((x-(x^3)/6)ln(x))=e(xln(x)-((x^3)/6)ln(x))
x^sin(x) equiv à e(xln(x))e(-((x^3)/6)ln(x))
on prend un équivalent de l'exp en 0
e(xln(x))(1-((x^3)/6)ln(x)) , on en reste là pour l'instant

B) sin(x)^x=e(xln(sin(x)) equiv à e(xln(x-(x^3)/6))=e(xln(x(1-(x^2)/6))=e(xln(x))e(xln(1-(x^2/6))
l'equiv de ln donne ensuite
sin(x)^x equiv e(xln(x))e(-(x^3)/6)
puis l'équiv de l'exp
sin(x)^x equiv e(xln(x))(1-(x^3)/6)

donc B)-A) equiv à
e(xln(x))(1-(x^3)/6-1+((x^3)/6)ln(x)) soit
e(xln(x))((x^3)/6)(ln(x)-1)

ensuite stef a pris 1 pour le e(xln(x))

[ansset]

en prenant e(xln(x))=1+xln(x) au lieu de 1, on peut améliorer l'équivalent qui devient
((x^3)/6)(ln(x)-1)+((x^4)/6)(ln²(x)-ln(x))

[invitea19e35c1]

merci beaucoup
j'ai compris la méthode
mais ce qui reste encore flou pour moi , c'est pourquoi vous êtes arrêté au 3 eme degré , moi j'ai mené le calcule jusqu'au 5 eme degré
merci

[ansset]

re-
tu peux pousser jusqu'au degré 5, avec la même méthode, c'est juste une question de lourdeur de "calcul".
si tu as le courage......

[ansset]

qcq remarque :
en changeant déjà l'approx du e(xln(x)) j'ai fait apparaître un terme en (x^4)ln(x) qui améliore pas mal, tu peux faire un tableur excel pour voir
remarque :
-dans la formule brute , certains termes sont très négligeables / d'autres et peut être de trop.
-en allant jusqu'à x^5 , tu dois pouvoir améliorer.

[stefjm]

merci beaucoup
j'ai compris la méthode
mais ce qui reste encore flou pour moi , c'est pourquoi vous êtes arrêté au 3 eme degré , moi j'ai mené le calcule jusqu'au 5 eme degré
merci

La vraie question est : pourquoi faire?

[ansset]

c'est peut être demandé.?
dans la pratique , ça ne change pas grand chose ( verif sur excel ) sauf pour les valeurs plus proches de 1. (*)

en revanche d'écrire e(xln(x))=1+xln(x) qui fait apparaître un terme en (x^4)ln(x) ( en oubliant les autres implications de calcul ) améliore pas mal.
c'est juste le petit plus qu'on peut faire sans trop d'effort par rapport au premier équivalent de stefjm.

(*)me suis tapé le calcul pour voir.

[stefjm]

J"avoue n'avoir pas eu le courage de faire le calcul : mon esclave s'en est chargé!

ordre 0 : 0 est la limite de la fonction
ordre 1 : tangente y=0+0.x
ordre 2 : 0, donc courbe très plate
ordre 3 : donc courbe sous la tangente

Au delà??
L’ordre 5 est assez affreux...

C'est un développement en série de Puiseux.

[ansset]

Au delà??
L’ordre 5 est assez affreux...

je confirme.
et faute d'esclave ou d'attention nécessaire dans les calculs, je n'ai pas tous tes termes en x^5.
On remarque quand même qu'en restant à l'ordre 3 dans tout le calcul initial ( le sinus )
et en changeant juste à la fin l'approximation de e(xln(x)) en 1+xln(x) , on a déjà l'ordre 4 correct ( voir post #20 ).
je trouve qu'on a un bon rapport résultat/investissement !
Cdt

ps: merci pour l'info sur les séries de Puiseux que je ne connaissais pas.

[ansset]

En complément:
-à l'ordre 3 on a déjà déjà une réponse d'un équivalent correct.
-pousser à l'ordre 4 n'est pas sorcier ( simple prolongement d'un seul facteur ), si on souhaite faire plus "beau-joli".
-chercher et proposer une solution à l'ordre 5 relève (pour moi ) du sadomasochisme, et je ne pense pas que cela soit une demande du prof.

[stefjm]

et faute d'esclave
[...]
ps: merci pour l'info sur les séries de Puiseux que je ne connaissais pas.

Il y a toujours celui là : Alpha en ligne
Je ne connaissais pas non plus Puiseux.

[ansset]

merci pour le lien.

une petite remarque de fin sur l'exo concernant le (*)
de fait, il me semble par exemple que l'ordre 3 soit l'ordre 2 de fait
à cause du terme en qui n'est pas un

(*) c'était en hommage à G Lux pour faire avancer son œuf .