Transformee de Fourier d'une d'une fonction localement integrable sur R3

[mcheddadi]

Bonjour,
Soit la fonction g(x) = 1/( norme de x au carre + k au carre ) ou k>0, definie sur R3.
Je voudrais comprendre comment calculer sa transformee de Fourier.
Les transformees de Fourier sont habituellement definies sur L1 (R3).
Quel est le resultat trouve svp ?

Cordialement.
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[JB2017]

Bonjour, d'abord je te fais remarquer que tu peux utiliser les balises "tex" ceci facilite la lecture.
Je vais répondre partiellement à ta question: il faudra voir les détails et la rigueur d'autant plus la transformée de Fourier pose toujours un problème car elle est définie à une cste près.
Maintenant si on revient à la définition de la TF on est amené à calculer une intégrale triple ce qui semble difficile voire impossible.
Ce que l'on peut dire c'est que g est radiale donc sa transformée aussi. Maintenant si on considère l'équation
où f est radiale on peut chercher une solution u radiale. Le Laplacien en coordonnées sphérique se simplifiant alors l'équation devient

Maintenant si on prend la transformée de Fourier de l'équation initiale on a
c'est à dire que
et ainsi (chercher F^(-1)( g ) et F (g ) revient au même).

Maintenant pour résoudre l'équation on peut cherche une solution fondamentale : et sera une solution particulière.

Finalement on voit que est une solution fondamentale. Il reste à chercher $u_0$ en remarquant que
pour c'est facile d'obtenir

Voilà je pense que l'idée de la solution passe par là mais je pense que c'est le résultat à un facteur près. Merci de me donner la solution exacte qd vous l'aurez.

[0577]

Bonjour,

une manière de faire:

1) Ecrire la définition de la transformée de Fourier, c'est une intégrale sur R^3.
2) Passer en coordonnées sphériques.
3) Intégrer sur les variables angulaires. Il ne reste plus qu'une intégrale sur la variable radiale.
4) Calculer l'intégrale sur la variable radiale en utilisant le théorème des résidus. On trouve le résultat donné dans la réponse de JB2017.

Remarque: la fonction g n'est pas dans L^1, ce qui "explique" le fait que sa transformée de Fourier n'est pas continue en 0.