Evolution d'un population

[mehdi_128]

Bonsoir,

Soit N une fonction strictement croissante sur un intervalle I contenant [0,+inf[ avec et solution de l'équation différentielle :

(E) où r et K sont des constantes strictement positives.

Avec

1/ Démontrer que N est strictement croissante sur I.
Ca j'ai réussi :

2/ En déduire que N admet une limite finie l en + l'infini.
N est croissante et majorée sur par K sur I donc elle admet une limite finie l lorsque t tend vers + l'infini.

3/ En raisonnant par l'absurde démontrer que l=K.

Je comprends pas déjà pour moi N(t) < K donc l<K

Et faut utiliser le fait que N(l) = l ? Je me souviens plus des hypothèse d'utilisation....

Merci d'avance.
-----

[ansset]

bjr,
un peu bizarre ton énoncé.
je suppose que y c'est N !
sinon N(t) peut avoir comme limite l et ne jamais l'atteindre.

(tout comme la lim en +l'inf de exp(-x) qui vaut 0 , alors que exp(-x)>0 pour tout x de R.)

[mehdi_128]

bjr,
un peu bizarre ton énoncé.
je suppose que y c'est N !
sinon N(t) peut avoir comme limite l et ne jamais l'atteindre.

(tout comme la lim en +l'inf de exp(-x) qui vaut 0 , alors que exp(-x)>0 pour tout x de R.)

Donc si alors l'égalité stricte devient inférieur ou égal ?

Sinon peut être utiliser N'(t) et passer à la limite .... Vu que N(t) tend vers l ...

[ansset]

oui, je ne sais pas trop on te propose "par l'absurde", mais ça revient au même puisque la fonction est dérivable et strictement croissante.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mehdi_128]

oui, je ne sais pas trop on te propose "par l'absurde", mais ça revient au même puisque la fonction est dérivable et strictement croissante.

Comment on est sûr que la limite l est réelle ?

Soit L la limite de N'(t) on a donc L est strictement positif car la pente d'une fonction strictement croissante est strictement positive :



Après je bloque

[mehdi_128]

Ah non en fait :

l < K donc : donc : L la limite de N'(t) vérifie :

Avec :

[ansset]

ça c'est le raisonnement par l'absurde.
si l<K alors la limite de la dérivée est >0 , incompatible avec la convergence.

[mehdi_128]

ça c'est le raisonnement par l'absurde.
si l<K alors la limite de la dérivée est >0 , incompatible avec la convergence.

En quoi la limite de la dérivée supérieure à 0 est incompatible avec la convergence ?

[mehdi_128]

Quelqu'un a une idée ?

[gg0]

Mehdi128,

Si la limite de N' est L>0, par définition des limites, pour t suffisamment grand on aura N'(t)>L/2 donc que fait N(t) ??

[mehdi_128]

Mehdi128,

Si la limite de N' est L>0, par définition des limites, pour t suffisamment grand on aura N'(t)>L/2 donc que fait N(t) ??

Merci pour l'indication



En intégrant entre A et t on obtient :

Or

Donc : or N converge d'où une contradiction !