Quel procédé de sommation pour une série divergente ?

[andretou]

Bonjour à tous
Je souhaiterais savoir s'il existe un procédé de sommation autorisant l'égalité suivante :


quand n tend vers + l'infini.

Ou peut-on seulement dire que

tend vers + l'infini quand n tend vers + l'infini ?

Merci pour vos réponses
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[gg0]

Bonjour.


Mais
avec (n+1) fois 1 dans le second membre.
La notation ....1111 n'a pas trop de signification, ce n'est pas l'écriture décimale d'un nombre. Donc pourquoi l'utiliser ?

La notion de limite, définie correctement au début du dix-neuvième siècle, a permis de traiter correctement pas mal de questions restées floues auparavant. En particulier, tout ce qu'on aurait tendance à écrire avec des "...". Les deux sommes ci-dessus ont pour limite quand n tend vers l'infini, donc ne nécessitent pas une écriture particulière.

[Médiat]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir s'il existe un procédé de sommation autorisant l'égalité suivante :


quand n tend vers + l'infini.

Oui, avec les nombres p-adiques, par exemple en base 2, le nombre ...1 = -1 (il suffit d'ajouter 1 à chaque membre pour s'en convaincre.

[andretou]

La notation ....1111 n'a pas trop de signification, ce n'est pas l'écriture décimale d'un nombre. Donc pourquoi l'utiliser ?

Merci pour tes précisions !
La notation 111...111 permettrait ici de préciser la valeur de cet infini, si cette écriture est autorisée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

la valeur de cet infini

Toujours des phrases qui ne veulent rien dire !! Tu en reviens à ton refus de traiter correctement la notion mathématique d'infini (en fait, il y en a plusieurs), et 111...111 n'a rien à voir avec ces différentes notions d'infini.

Quand te décideras-tu à apprendre les maths ? Je suis totalement sûr que tu n'as rien compris à la réponse de Médiat, mais tu vas nous la ressortir plus tard comme un argument !!!

[andretou]

Bonjour,

Oui, avec les nombres p-adiques, par exemple en base 2, le nombre ...1 = -1 (il suffit d'ajouter 1 à chaque membre pour s'en convaincre.

Bonjour Médiat
Du coup, ce que je n'arrive pas à comprendre, c'est comment un même nombre (en l'occurence ...1) peut-il tendre vers l'infini en base 10, et avoir une valeur finie en base 2 ?

[gg0]

Ce n'est pas "le même nombre", ce sont deux écritures différentes, l'une sans signification, l'autre relative à une partie des maths que tu ne connais pas ....

[andretou]

Ce n'est pas "le même nombre", ce sont deux écritures différentes, l'une sans signification, l'autre relative à une partie des maths que tu ne connais pas ....

Pourrais-tu STP expliquer sans t'énerver pourquoi ...1 (en base 10) et ...1 (en base 2) ne sont pas "le même nombre" et sont "deux écritures différentes" ?...

[gg0]

11 en base 2 et 11 en base 10 ne sont pas le même nombre, même si l'écriture est la même. Tu confonds encore "nombre" et "suite de chiffres" ?????

[jacknicklaus]

Médiat parle de nombres p-adiques. C'est une bestiole de nature différente d'un réel.

est valable en métrique 2-adique, (rien à voir avec la base 2), car la série converge.

Ce qui n'est évidemment pas le cas de qui diverge sur les rééls.

On parle d'objets de nature complétement différente, pas de nombres identiques exprimés en bases différentes.

[andretou]

11 en base 2 et 11 en base 10 ne sont pas le même nombre, même si l'écriture est la même.

Ok. A tout nombre exprimé en base 10 correspond un nombre différent en base 2 et réciproquement (sauf 0 et 1 qui sont identiques).
Mais comment expliquer qu'un nombre qui tende vers l'infini quand il est exprimé en base 10 a une valeur finie en base 2 ?
A priori c'est quand même bizarre, non ?...


EDIT : je crois que Jacknicklaus vient de donner un élément de réponse...

[Médiat]

Ce n'est pas un problème de base mais de différence de nature il s'agit de nombres p-adiques (diadiques plus précisément), même si on parle aussi de base.

[gg0]

Dans la vie courante aussi, des assemblages de signes identiques peuvent avoir des significations différentes. PS à la fin d'un message n'a pas la même signification que sur les affiches de Hamon. Et Andretou continue à parler de nombre pour des écritures : "qu'un nombre qui tende vers l'infini quand il est exprimé en base 10 a une valeur finie en base 2". Autrement dit il est incapable de comprendre ce qu'on lui dit, puisqu'il confond encore et toujours "nombre" et "suite de symboles".

Et tout ça à partir de "j'écris n'importe quoi, les autres y trouveront bien une signification" !!!

[andretou]

Dans la vie courante aussi, des assemblages de signes identiques peuvent avoir des significations différentes. PS à la fin d'un message n'a pas la même signification que sur les affiches de Hamon. Et Andretou continue à parler de nombre pour des écritures : "qu'un nombre qui tende vers l'infini quand il est exprimé en base 10 a une valeur finie en base 2". Autrement dit il est incapable de comprendre ce qu'on lui dit, puisqu'il confond encore et toujours "nombre" et "suite de symboles".

Et tout ça à partir de "j'écris n'importe quoi, les autres y trouveront bien une signification" !!!

Excuse-moi, je ne fais que poser des questions sur des sujets mathématiques qui m'interpellent, et je suis désolé si je ne suis pas aussi intelligent que toi et que j'ai souvent besoin d'explications complémentaires.
Ce forum n'est-il pas justement conçu pour permettre aux gens de poser des questions ? Si mes questions ne t'intéressent pas personne ne t'oblige à intervenir, et encore moins à être agressif gratuitement ce qui n'apporte rien ni à la discussion, ni à la bonne entente qui doit régner entre nous.

[ansset]

@andretou:
oublies dans un premier temps les nombres diadiques ou p-adiques ( tu creuseras plus tard cette notion si tu le souhaites )
si je corrige ton premier post ou le n sous la somme est une erreur d'écriture:


quand n tend vers + l'infini.

par défaut , on suppose que tu l'écris en base 10:
cette somme ( suite géométrique ) est bien connue puisqu'elle vaut

il est évident :
-qu'elle s'écrit sous forme d'une suite de 1 ( pour tout n ) ( tu peux facilement voir pourquoi )
-qu'elle tend vers +l'inf.

[andretou]

Bonjour,

Oui, avec les nombres p-adiques, par exemple en base 2, le nombre ...1 = -1 (il suffit d'ajouter 1 à chaque membre pour s'en convaincre.

Accessoirement, pourriez-vous SVP m'indiquer si cette autre démonstration que l'on a (en base 2) ...1 = -1 est valable ? Ou pas ?



Posons :

On a alors : S = 1 + 2S
D'où S = -1
Donc :


Or
en base 10 est équivalent à
en base 2

Et puisque


On a donc en base 2 : ...1 = -1

[ansset]

aie!aie!aie!aie!

[andretou]

Où est-ce que ça fait mal ???...

[ansset]

rien que le départ :

reprenons avant de poursuivre à l'inf :

soit

tu ne pourrais en déduire que la lim S(n)=-1 uniquement si celle ci était finie, ce qui n'est pas le cas.

[gg0]

Andretou,

j'ai gentiment répondu à ton premier message, dans le sens de ce que tu semblais avoir en tête (tu ne connais pas les nombres p-adiques). Puis tu dévies progressivement, sans tenir compte des réponses, en sautant sur tout ce qui te semble aller dans le sens de ce que tu rêves, sans t'occuper de savoir si les mots que tu emploies sont les bons.
Ce doit être au moins la dixième discussion que tu inities avec toujours ce refus de lire et comprendre les réponses. Effectivement, je n'aurais pas dû être gentil au départ, on ne fait pas boire un âne qui n'a pas soif !

[andretou]

rien que le départ :

reprenons avant de poursuivre à l'inf :

soit

tu ne pourrais en déduire que la lim S(n)=-1 uniquement si celle ci était finie, ce qui n'est pas le cas.

Merci pour ta rectification !

[ansset]

cela étant, c'est effectivement une somme convergente mais dans une métrique 2-adique.
métrique que tu sembles ignorer
Et tu ne peux changer de métriques et comparer tes résultats.......
( ce que tu avais fait dans ton post plus haut )

[pm42]

Où est-ce que ça fait mal ???...

Je rejoins gg0. Ce serait bien d'arrêter d'écrire n'importe quoi par refus complet d'apprendre...

[jacknicklaus]

cette autre démonstration que l'on a (en base 2) ...1 = -1

Non. Oublie. C'est pas en base 2. C'est une addition d'autres objets. Ces objets sont les nombres p-adiques. Je suis désolé pour Médiat, mais je crains que son intervention ne fasse que t'embrouiller. Oublie les p-adiques pour le moment !

Donc si on reste sur des réels "normaux", alors non, et non, tu ne peux pas prendre et le manipuler comme si c'était un nombre réel habituel. La somme de cette série n'existe tout simplement pas, elle diverge, c'est PAS un nombre. Tu ne peux pas le manipuler, l'additionner etc... comme çà.
Sinon moi aussi je peux écrire de grosses bêtises :

[andretou]

NJe suis désolé pour Médiat, mais je crains que son intervention ne fasse que t'embrouiller. Oublie les p-adiques pour le moment !

Ok, mais je reste sur ma faim, car cette équation ...1 = -1 m'intrigue et j'aurais bien aimé en comprendre le sens (je croyais avoir compris, mais ma démo est fausse)...
Si quelqu'un peut tenter une explication complémentaire, il serait bienvenu !

[ansset]

je complète avec un exemple qui marche, en prenant (1/2) et pas 2 ....

reprenons avant de poursuivre à l'inf :

soit ici

la somme converge et sa limite vérifie
(1/2)S=1
S=2

[ansset]

Ok, mais je reste sur ma faim, car cette équation ...1 = -1 m'intrigue et j'aurais bien aimé en comprendre le sens (je croyais avoir compris, mais ma démo est fausse)...
Si quelqu'un peut tenter une explication complémentaire, il serait bienvenu !

ben, essaye de te renseigner sur les nb p-adiques !
mais c'est pas du niveau lycée.

autre piste, puisque tu insistes ( prendre un doliprane avant) :
regarder l'approche des sommes divergentes par les sommations partielles ( à la Riemann ).
Et la fameuse "sommation des entiers" :


je doute de te rendre service, mais c'est un peu de ta faute ,

[andretou]

je doute de te rendre service

Qui sait ?... Merci en tous cas pour tes conseils !

[Médiat]

Je suis désolé pour Médiat, mais je crains que son intervention ne fasse que t'embrouiller.

Je répondais, dans le forum "Mathématiques du supérieur" à la question "Je souhaiterais savoir s'il existe un procédé de sommation autorisant l'égalité suivante :", la réponse est oui : les p-adiques, maintenant andretou ne lit pas les réponses (2 de gg0, une de jacknicklaus), tant pis pour lui !

Quant à la démonstration de ...1 = -1 je répète ce que j'ai déjà écrit : il suffit d'ajouter 1 à chaque membre pour s'en convaincre.

[andretou]

J'ai encore une question : pourriez-vous SVP m'indiquer si éventuellement il existe d'autres méthodes de sommation (en plus des nombres p-adiques) permettant d'écrire :



Par exemple, la méthode de sommation d'Abel est-elle appropriée ?
https://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_divergente

Merci pour votre patience.