Matrice, Image, Base et Noyau

[JAGC]

Bonjour à tous,
Je travail sur les Applications linéaires et je n'arrive pas bien à saisir quelques notions. Voici mon exercice :
On définit deux endomorphismes f et g par :
f(x,y,z)=(x+2y-z, -x-2y+z, 2x+4y-2z)
g(x,y,z)=(x+y-z, 2x-y+2z, 3x+z)
(j'ai fait les questions que pour f, car je pense que c'est la même chose pour g)

1)Déterminer Ker f et Ker g (équation et base)
Donc pour cette question, j'ai résolu f(x,y,z)=0 et g(x,y,z)=0 donc pour f on voit que L3=L3-2L1 et L2=L2+L1 alors soit x+2y-z=0 mais je dois trouver combien de vecteur qui vérifie cette équation ? deux ? donc (0,1,2) et (1,0,1) marchent, et de plus les vecteurs forment une famille libre et génératrice donc c'est une base ?

2)Quelles sont les dimensions de Im f et Im g ?
Pour cela j'utilise le théorème du rang qui dit que Dim Im f= Dim R^3 - dim Ker f= 2 - 1=1

3)Donner une base de Im f et de Im g
Alors la je bloque un peu ... Je sais que comme la Dimension de Im f est de 1 on cherche un vecteur mais je vois pas comment ...

Merci pour votre aide !
-----

[slivoc]

Bonjour,

Habituellement, quand on a un endomorphisme, on précise l' EV, vue la suite ça semble être R^3.
Pour la 1), l' équation du noyau est la bonne. Pour savoir la dimension de celui-ci, il y'a deux façons: Ou bien on peut considérer la forme linéaire l de R^3 dans R qui a (x,y,z) associe x+2y-z, et alors ker f = ker l, deplus on remarque que l n' est pas la forme nulle, et la dimension de R est 1, donc l est surjective, donc par le théorème du rang dim ker l =2 = dim ker f, donc une base est formée de 2 vecteurs. Ou bien, avec l' équation du noyau o, peut exprimer z comme combinaison de x et y et apres par équivalence (x,y,z) dans ker f ssi (x,y,z)=(x,y,x+2y)=x.(1,0,1) + y.(0,1,2), et voila deux vecteurs qui forment une base( clairement libre et génératuers puisque raisonnement par équivalence).
Pour la 2), le résultat est bon mais le calcul est faux, dim R^3 = 3, dim ker f=2
Pour la 3) On sait que la dimension de l' image est 1, il suffit donc de prendre un vecteur n' étant pas dans le noyau, son image n' est donc pas 0 et il est dans l' image, il l' engendre donc !

Bonne journée

[JAGC]

Je vous remercie pour votre réponse,
En effet j'ai oublié de préciser que c'était dans R^3 et pour la question 2 c'est une erreur de ma part mais sinon je pense avoir comprit l'essentiel, en revanche je ne vois toujours pas comment trouver ce vecteur pour la base de l'image de f ... Pouvez vous me donner un exemple ?
Merci !

[gg0]

Quand un espace vectoriel est de dimension 1, n'importe quel vecteur non nul convient pour former une base.
Dimension 1, ça veut dire que dès qu'on a 2 vecteurs différents, l'un est un multiple de l'autre.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[JAGC]

D'accord !
Merci gg0 pour votre réponse !