Exemple d'exercice de probabilités.

[Dlzlogic]

J'ai lu cette question. Quelles seraient vos réponses ? Est-ce une bonne méthode pour aborder les probabilités, ou vérifier le niveau des élèves ?
Que signifie pour vous eam ? On peut supposer qu'il ne s'agit pas du niveau lycée, mais du niveau Bac++

Alors, j'ai en fait 8 observations:
-3 0 0 0 0 0 0 3

Je dois trouver la moyenne, eam, variance, écart-type ( je ne rencontre pas de problème à cela).
moyenne = 0
eam = 0.750
variance = 2.250
écart-type = 1.500
Puis les questions
a) quelle est le nombre d'observations qui sont à deux ou plus de deux écart-type de la moyenne ?
b) quelle est la proportion des observations qui sont à deux ou à plus de deux écarts-types de la moyenne ?
--
c) quelle est le nombre d'observations qui sont à trois ou plus de trois écart-type de la moyenne ?
d) quelle est la proportion des observations qui sont à trois ou à plus de trois écarts-types de la moyenne ?

Je ne manquerai pas de donner mon avis.
Merci d'avance.
-----

[feanorel]

Bonjour,

l'exercice n'est pas compliqué mais n'a aucun intérêt autre que faire des calculs de stat descriptive basiques.

J'imagine que eam veut dire écart absolu moyen interprété comme la norme 1 des écart à la médiane (ou à la moyenne peut-être) divisé par le nombre de valeurs. C'est une valeur peu utilisée en stat théorique...

Sinon pour les réponses a) 2 b) 0.25 c) 0 d) 0

[Dlzlogic]

Bonjour,
Merci pour la réponse.
Oh non, l'exercice n'est pas compliqué, mais je n'ai pas réussi à discerner le but. C'est d'ailleurs ma question.
D'abord la moyenne est bien 0, pas de difficulté.
eam, personnellement je dis ema (erreur moyenne moyenne arithmétique).
Le calcul est faux, la bonne valeur est (3+3)/7.5 = 0.80.
Ecart-type = sqrt((3²+3²)/7 = 1.60
On peut suppose que l'ema a été demandée pour calculer emq/ema ~ 1.25 or 1.6/0.8 = 2.0 ce qui est manifestement très mauvais.
Les réponses à a) b) c) d) sont forcément 0.

Par contre la série -4 0 0 0 0 1 3 aurait été plus intéressante, puisqu'elle comporte une observation qui dépasse 2 écart-type.

Mon avis : Si c'est un test de compréhension des calculs de probabilités, alors l'élève s'est trompé. C'est pour moi l'explication la plus vraisemblable. *** Inapproprié ***

Les calculs de probabilités n'ont rien d'abstrait. On ne les enseigne pas pour apprendre sur quelle touche de la calculette il faut appuyer.
En stat. théorique je suppose qu'on sait faire la différence entre le cas où la moyenne vraie est connue (ex les dés) et le cas où la moyenne utilisée dans le calcul de l'écart-type est le résultat de l'opération "moyenne arithmétique". D'ailleurs, selon mes infos, les calculettes savent distinguer cela.

[bon prof math]

bonjour
exercice pas compliqué certes...

eam, personnellement je dis ema (erreur moyenne moyenne arithmétique).
Le calcul est faux, la bonne valeur est (3+3)/7.5 = 0.80.

arrêtons nous un instant sur ce premier calcul, affirmé mais pas justifié :
quelle est la formule générale pour eam (ou ema si tu préfères) ? en clair, l'eam est la somme de quoi divisée par quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[feanorel]

Mon avis : Si c'est un test de compréhension des calculs de probabilités, alors l'élève s'est trompé.

Heureusement ton avis ne te concerne que toi, qui n'as jamais enseigné les proba ou les stats.

L'écart-type d'une série de donnée est définie par la racine de la somme des carrés des écarts à sa moyenne (arithmétique) divisé par N.
Si on parle d'estimateur de l'écart-type d'une va dont on dispose de réalisation on peut utiliser l'estimateur /N et /(N-1) qui ont des propriétés différentes.

[Dlzlogic]

L'ema est la moyenne des écarts arithmétiques, c'est à dire pris en valeur absolue, par rapport à la moyenne vraie.
En général, on ne connais pas la moyenne vraie, pour la bonne raison que c'est la plupart de temps le but des mesures. Alors, le dénominateur, au lieu d'être N est N-0.5. Il est vrai que cette valeur est rarement utilisée, donc peu documentée.

L'emq qu'on appelle habituellement écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne vraie. En général, on ne connais pas la moyenne vraie, pour la bonne raison que c'est la plupart de temps le but des mesures. Alors, le dénominateur, au lieu d'être N est N-1. Une vérification facile : pour une seule mesure, l'écart à la moyenne observée est 0 (par définition), le dénominateur est (N-1) = 1-1 = 0. L'écart-type est 0/0, c'est à dire indéterminé, ce à quoi on s'attendait.

L'écart-type d'une série de donnée est définie par la racine de la somme des carrés des écarts à sa moyenne (arithmétique) divisé par N.

Cette définition est vraie, soit si N tend vers l'infini, soit si la "moyenne" est connue, c'est à dire la moyenne vraie (en ce cas, ce ne sera pas 'sa' moyenne mais 'la' moyenne). Cela est le cas de tirage de dés ou si la valeur de la moyenne est connue pour toute sorte de raisons, pas exemple cette valeur a été déterminé par des mesures précédentes très précises, ce qui a permis de la considérer comme une valeur vraie. Contrairement au calcul de l'ema, il y a beaucoup de documentation sur ce point.

[bon prof math]

L'ema est la moyenne des écarts arithmétiques, c'est à dire pris en valeur absolue, par rapport à la moyenne vraie.
En général, on ne connais pas la moyenne vraie, pour la bonne raison que c'est la plupart de temps le but des mesures. Alors, le dénominateur, au lieu d'être N est N-0.5. Il est vrai que cette valeur est rarement utilisée, donc peu documentée.

Et on peut voir un document où le dénominateur est N-0.5 s'il te plait ?

[bon prof math]

L'emq qu'on appelle habituellement écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne vraie. En général, on ne connais pas la moyenne vraie, pour la bonne raison que c'est la plupart de temps le but des mesures. Alors, le dénominateur, au lieu d'être N est N-1. Une vérification facile : pour une seule mesure, l'écart à la moyenne observée est 0 (par définition), le dénominateur est (N-1) = 1-1 = 0. L'écart-type est 0/0, c'est à dire indéterminé, ce à quoi on s'attendait.

Ca, c'est une confusion entre Ecart-type ( avec /N , car c'est une moyenne !) et Estimateur d'Ecart-type (avec /N ou /(N-1) comme expliqué )

[Dlzlogic]

Ci dessous un scan du cours de JJ Levallois (page 26).

[ansset]

première fois que je vois une erreur moyenne arithmétique avec un dénominateur de n-1/2
mais il est vrai que je doit être bien trop jeune.
car ces "cours" de Levallois datent de 1960 ! ( année de naissance )

faut que je vérifie si Newton n'avait pas écrit un truc la dessus, quand même !

[bon prof math]

Ci dessous un scan du cours de JJ Levallois (page 26).

Merci pour ce scan.

On y lit parfaitement les définitions de ema et emq (divisions par n) et ensuite les estimateurs "dans la pratique" (divisions par n-0.5 et n-1).

Dans le cours de Levallois, il y a-t-il la justification de la formule /(n-0.5) ou est-ce simplement affirmé sans explication ? Je viens d'étudier cet estimateur de l'ema, et il apparaît biaisé...

[Dlzlogic]

Il est vrai que la justification de ces formules n'est pas dans le cours. Peut-être les trouve-t-on dans le cours de Lévy.
Concernant la fiabilité de ces définitions et de leurs formules, étant donné les connaisseurs de ce cours, s'il y avait le moindre doute, je pense qu'on le saurait.
Concernant les sources, je pense que c'est plutôt Gauss et la bibliothèque de l'X, plutôt que Newton.

[bon prof math]

Concernant la fiabilité de ces définitions et de leurs formules, étant donné les connaisseurs de ce cours, s'il y avait le moindre doute, je pense qu'on le saurait.

Justement, Levallois n'est pas un mathématicien... son cours s'adresse à des techniciens, donc il ne s'encombre pas de toute la rigueur nécessaire, il joue la carte du pragmatisme.
Mais la question d'un estimateur non biaisé pour l'ema est une question intéressante.

Concernant les sources, je pense que c'est plutôt Gauss et la bibliothèque de l'X, plutôt que Newton.

Houla, Gauss, pas davantage que Newton, n'est une référence en matière de proba-stats : les proba-stats ont beaucoup évoluées depuis 200 ans !

[minushabens]

j'ai lu le fil un peu en diagonale donc je ne sais pas si c'est ça la question, mais il n'existe pas d'estimateur uniformément sans biais de l'écart-type d'une distribution.

[ansset]

Houla, Gauss, pas davantage que Newton, n'est une référence en matière de proba-stats : les proba-stats ont beaucoup évoluées depuis 200 ans !

heuu ! j'avais cité Newton comme une grosse blague assez lourdingue !
je croyais que c'était clairement visible.
Cdt

[feanorel]

L'ema est la moyenne des écarts arithmétiques, c'est à dire pris en valeur absolue, par rapport à la moyenne vraie.

Comme d'hab tu ne lis rien à ce que l'on écrit... Que signifie "moyenne vraie" ?
Voici trois nombre : 3, 7, 4
quel est leur "moyenne vraie" ?

Moi, comme toute personne ayant un strict minimum en proba / stat, je définis :
- la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série de nombre,
- l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire,
- des estimateurs de l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire dont je connais des réalisations (indépendantes de préférence).

[Dlzlogic]

Comme d'hab tu ne lis rien à ce que l'on écrit... Que signifie "moyenne vraie" ?
Voici trois nombre : 3, 7, 4
quel est leur "moyenne vraie" ?

Moi, comme toute personne ayant un strict minimum en proba / stat, je définis :
- la moyenne, la variance et l'écart-type d'une série de nombre,
- l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire,
- des estimateurs de l'espérance, la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire dont je connais des réalisations (indépendantes de préférence).

Bonsoir feanorel,
Tu n'imagines pas à quel point je lis soigneusement ce que tu écris. La plupart du temps, tes arguments sont des liens sur des "cours" dont les auteurs ne répondent pas aux questions, *** rhétorique ***

Donc comment tu définis la moyenne d'une série de nombres ? La moyenne arithmétique ? Cette série de nombres correspond-t-elle à quelque-chose ? Tes trois nombres, d'où sortent-ils ? ont-ils un rapport ? résultent-ils d'une mesure d'une même chose dans les mêmes conditions ? Probablement pas.
Par contre, si tu prends les N décimales d'un grand nombre, par exemple pi, ou e ou je ne sais quel nombre irrationnel, alors on pourra échanger.
L'espérance. Ce terme est parfaitement défini en mathématique : c'est le produit du gain par la probabilité. Apparemment, il a été cannibalisé. Estimateur de l'espérance, c'est un pléonasme. Ce forum est un forum de math.
L'écart-type se calcule, ne s'estime pas. C'est une valeur précise, étant donné un certain nombre de valeurs précises, généralement mesurées ou observées.

Je t'ai souvent posé la question : pourquoi, étant donné un certain nombre de mesures ou d'observations d'une même quantité, dans les mêmes conditions, on adopté la moyenne arithmétique ? On pourrait adopter une moyenne géométrique, ou je ne sais quoi d'autre. Tu n'as jamais répondu à la question, pourtant elle est fondamentale, c'est l'une des bases de toutes les probabilités.

[bon prof math]

L'espérance. Ce terme est parfaitement défini en mathématique : c'est le produit du gain par la probabilité. Apparemment, il a été cannibalisé. Estimateur de l'espérance, c'est un pléonasme.

C'est toi le "cannibale".

Ta dernière phrase dit qu' "un sondage est un pléonasme"... car le but d'un sondage est d'estimer l'espérance d'une loi. C'est ce que tu fais quand tu fais plusieurs mesures d'une même quantité. Et tu qualifies cela de "pléonasme".. Réfléchis-y !

L'écart-type se calcule, ne s'estime pas.

Encore une fois, tu montres un niveau ridicule.

Ce forum est un forum de math.

en effet... Réfléchis-y !

[Médiat]

Bonjour,

Plus rien à ajouter ? Non, bon : on ferme, encore une fois !

Médiat