Familles de vecteurs

[to175]

Bonjour, j'ai plusieurs questions sur les familles de vecteur svp

1. Comment visualiser une famille libre, et liée ? Je n'arrive pas a saisir le sens malgré les formules...

2. Je ne comprends pas cette propriété : Une famille à un élément (x) est libre ssi x différent de 0_E.

3. Est-ce qu'une sur-famille de (x₂,x₃,...,x_n-1) est par exemple (x₁,x₂,...,x_n) ?

4. On dit que cette famille est génératrice de E lorsque E = vect(v1, · · · , vp), c’est-
à-dire que tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs
(v1, v2, · · · , vp). Je ne comprends pas trop, c'est pas plutôt "c'est a dire que E s’écrit comme l’ensemble des combi linéaires de vecteurs (v1, v2, · · · , vp)" ? Enfin avec la première phrase de l’énonce je vois pas en quoi ce sont les vecteurs de E qui s’écrivent comme combinaison linéaire, mais j'ai plus l'impression que c'est E qui s'ecrit comme combinaison linéaire... non ?

5. Un EV s’écrit toujours Vect(...) ? Genre E = vect(v1, v2) on peut toujours écrire ca s'il est fini ? Ou il faut obligatoirement que la famille (v1, v2) soit generatrice ? Et donc si elle est pas generatrice, comment je peux ecrire E autrement ?

6. L’énoncé suivant m'a l'air très abstrait, vous pourriez me le détailler svp ? Comment visualiser ca ?
Soit E est un espace vectoriel de dimension finie et G une famille génératrice
finie de E. Toute famille libre contenue dans G peut, à l’aide d’éléments de G, être
complétée en une base de E

7. Est-ce que si (u₁, u₂, u₃) est une base de E alors (u₁, 2u₂, 1/2 u₃) est aussi une base de E ?

8. Est-ce que quand on dit "K est de dimension 1 sur K avec comme base (1)" il s'agit de K ensemble des scalaires ? C'est quoi précisément un scalaire ? Et est-ce que c'est de dimension 1 parce que K est une droite ?

9. Kn est de dimension n sur K avec comme base appelée base canonique(ei)1≤i≤n où ei = (0, 0, · · · , 1 ième coordonnée, 0, · · · , 0). Pourquoi la ieme coordonnee vaut 1 ?

10. Vous auriez une démonstration pour : Soit B une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension
n. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) B est une base.
(ii) B est une famille libre à n vecteurs (dite famille libre maximale).
(iii) B est une famille génératrice à n vecteurs (dite famille génératrice minimale).
Je croyais que base = libre + generatrice alors que la il dit tout est equivalent

merci
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[gg0]

Bonjour.

Tu perds ton temps à vouloir "visualiser". Apprends les définitions. Et sers-toi des définitions pour acquérir une expériences sur ce domaine.
L'algèbre n'est pas une question de vue, mais de raisonnement.

2) Immédiat en appliquant la définition
3) Si A est une sous-famille de B, alors B est une sur-famille de A. Ces notions sont totalement intuitives, il te suffit de penser (si tu n'es pas une machine). Dans le cas que tu cites, (x₂,x₃,...,x_n-1) est une sous-famille de (x₁,x₂,...,x_n).
4) c’est-à-dire que tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs (v1, v2, · · · , vp). Je ne comprends pas trop, c'est pas plutôt "c'est a dire que E s’écrit comme l’ensemble des combi linéaires de vecteurs (v1, v2, · · · , vp)" ? Si tu comprends le français, si tu sais ce que veut dire "ensemble", tu vois immédiatement que tu as dit deux fois la même chose, en des termes différents. C'est quand même bizarre que tu ne lises pas les phrases pour essayer de savoir ce qu'elles disent. Toi qui veux visualiser, tu n'essaies même pas de comprendre les phrases ???
5) Ta question n'a pas de sens !! Là encore, tu écris "vect" mais tu ne sais pas de quoi tu parles. Par contre, il est vrai qu'un espace vectoriel a toujours une partie génératrice, l'ensemble de ses vecteurs. On peut même définir une famille génératrice, mais inutile d'aller dans ce genre de complexité, tu ne comprends pas les définitions élémentaires.
6) C'est effectivement très abstrait, comme toute l'algèbre linéaire (*). Donc soit tu acceptes de travailler dans l'abstrait, soit tu laisses tomber les maths. mais arrêtes de vouloir "visualiser". Sinon, cette propriété dit simplement qu'on peut ajouter des éléments de G à la famille pour qu'elle devienne génératrice, donc une base. C'est tout !
7) Exercice à faire par toi.
8) Si + et x sont les opérations du corps K, alors (K,+,x) est un espace vectoriel sur K, de dimension 1. A toi de prouver ça avec les définitions d'espace vectoriel et de base.
9) Pourquoi pas ? On te propose une famille, vérifie qu'elle est libre et génératrice. Cette base pour laquelle les preuves sont très faciles a justement été choisie pour ça (d'où le nom "canonique"). En écrivant la preuve tu verras pourquoi ce choix. Mais attention, il y a une infinité de bases de R^n (sauf si n=0)
10) C'est fait dans tous les cours d'algèbre linéaire.

Question : Pourquoi ne prendrais-tu pas un vrai cours d'algèbre linéaire ? Tu semble lire une liste de propriétés sans comprendre de quoi il s'agit. Les maths se pratiquent, apprendre par cœur n'est pas faire des maths. On ne joue pas au football en apprenant par cœur le règlement.

Cordialement.


(*) Et comme toutes les mathématiques quand on arrive à une niveau supérieur.

[redrum13]

Comment visualiser?
Essaye avec deux vecteurs: si ils sont libres ils génèrent un plan. Sinon ils génèrent une droite.
Pour une famille de 3 vecteurs: si ils sont libres ilms génèrent un espace 3D,sinon un plan, sinon une droite.
Etc...

[to175]

Merci beaucoup tout le monde

Je prends pas de cours car ca me reviendrait trop cher, je suis assez lent dans l'apprentissage. Je suis en école d'ingé cependant... J'ai besoin de passer un concours niveau sup en maths. Bref ! Quoiqu'il en soit j'ai du mal meme avec les définitions. Je persévère, je suis déterminé.
Comment on arrive a travailler dans l'abstrait ?

Je comprends mieux pour libre mais liée j'ai un doute, pourquoi il suffit que 2 vecteurs soient collineaires ? La CL je l'a fait pas avec tous les vecteurs de l'ensemble ? Si jai deux vecteur collineraire je pourrais avoir une CL de ces deux vecteurs en question qui les annules certes mais les autres vecteurs de la CL ils deviennent quoi ? Comment pourraient-ils s'annuler sans les autres coeff nuls... donc CL pas nuls si pas tous les lambdas nuls... => En quoi seulement 2 vecteurs colinéaires suffisent pour avoir liée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Tu te noies dans un verre d'eau !
Si le système (U,V) est lié, alors il existes deux réels dont au moins un est non nul a et b tels que aU+bV=0 (définition !!)
Si a est non nul, de aU=-bV on tire U=(-b/a)V donc U et V sont colinéaires.
Si a est nul, alors b est non nul et on trouve de même V=(-a/b)U, donc U et V sont colinéaires.

Sois sérieux, si tu as vraiment besoin de réussir ce concours, il va falloir comprendre le cours de sup, qui est essentiellement abstrait, donc étudier un cours (un bouquin ou un pdf- pas prendre des cours payants) et travailler dans l'abstrait. Directement dans l'abstrait, avec les définitions et les théorèmes. En t'inspirant des démonstrations de base et des exemples du cours.

Et essaie de comprendre et de dire de quoi tu parles : "Si jai deux vecteur colinéaires (pas collineraire) je pourrais avoir une CL de ces deux vecteurs en question qui les annules certes mais les autres vecteurs de la CL ils deviennent quoi ?" Donc tu parles d'une partie de plus de deux vecteurs. Ben ... tu les rajoutes avec le coefficient 0 ... "donc CL pas nuls si pas tous les lambdas nuls'" non ! tu n'as pas r'egardé ce qui se passe, tu baratines, au lieu de faire ! Et quand tu baratines, tu oublies la moitié des mots "je pourrais avoir une CL de ces deux vecteurs en question qui les annules" !!!
Si tu as vraiment appris la définition, pas seulement survolé, tu sais quoi faire. Pour l'instant, tu ne connais pas la définition. D'ailleurs, c'est traité dans la plupart des cours sérieux. Donc prends un cours sérieux et étudie-le, paragraphe après paragraphe.

Cordialement.

[to175]

Merci
je ne sais pas travailler dans l'abstrait, j'ai beau bosser a fond comme en seconde et première (ou j'avais des 18 tt le temps) et bien je suis super lent et je comprends pas les définitions... C'est pareil que quand j'étais en specialité maths (en termiale). La réponse à mon soucis est longue, ou pas, je ne sais pas... Je ne sais pas exactement quel est mon pbl mais les réponses passe-partout me laissent bouche bée, j'aimerais que quelqu'un puisse m'expliquer concrètement comment travailler plutot qu'on m'explique très vaguement ce qui ne va pas. Car ca fait deux ans que j'entends "apprends tes definitions", ce que je fais déjà, tant bien que mal, sans résultats.

[stefjm]

Je dirais qu'il ne faut pas apprendre, mais comprendre.
La nuance étant que lorsqu'on comprend un truc, ce truc nous parle.

[to175]

Merci,
c'est justement mon soucis sur lequel je demande de l'aide, je suis beaucoup trop lent pour comprendre ces choses abstraites (quand j'y arrive)...

[gg0]

Ne serait-ce pas que tu veux qu'il y ait plus que ce qui est dit ? ce que tu appelles "visualiser" est peut-être tout simplement "dire ce qui est caché"; or il n'y a rien de caché, en maths. Un espace vectoriel est simplement un ensemble (n'importe lequel) sur lequel sont définies deux opérations dont la deuxième est liée à un corps (n'importe lequel) et qui vérifient certaines propriétés. Pour penser, on peut s'appuyer sur quelques exemples, mais qui ne sont que des exemples. Il n'y a rien à comprendre de plus (*), tout est dit dans la définition.

Ton problème est peut-être "accepter". Prendre les définitions sans plus
"En maths, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue". (Von Neumann)

Cordialement.

(*) étudiant les maths seul en première, j'ai cherché à comprendre ce qui était caché derrière une formule d'intégration pendant 1 an; puis on l'a vue en cours et il n'y avait rien de caché !

[to175]

Ah c'est vrai qu'en générale je cherche le compliqué là ou il y en a pas (mais bon ca me dit pas comment voir simplement les choses....).
Sinon quand je parle de visualiser c'est sur une feuille vu qu'on travaille avec des vecteurs donc dessiner ce qui est concevable a mon échelle, peut être des petites dimensions par exemple...

Merci pour la citation, oui je me reconnais dans le fait "d'admettre" je dirais. Je passe des heures sur les déf. Mais comment s'habituer a une formule très rapidement alors, peut-être est cache la, la complexité de la prépa.
Quoi qu'il en soit, je ne connais pas la formule magique pour admettre certaines choses... Car les choses qui me paraissent illogique ou contraire a ce que je viens d'apprendre bah ... je fais un rejet, normal nan ?

[gg0]

Mais justement (et je te l'ai déjà dit), l'algèbre sert à éviter d'avoir besoin de petits dessins. Quand tu résous x-2=3-x tu ne fais pas des petits dessins.
" Mais comment s'habituer a une formule très rapidement" en l'acceptant!
" Car les choses qui me paraissent illogique ou contraire a ce que je viens d'apprendre bah ... je fais un rejet, normal nan ? " Alors tant pis,si tu fais un rejet des maths, n'en fais pas, on peut vivre sans. Mais si tu veux en faire, sois sérieux : ne rejettes pas, accepte et pense.

Si ton problème est psychologique, c'est avec un psychologue qu'il faut travailler.

[to175]

C'est très simple.

x = 1 et x = -1, combien vaut x ?

Désolé, mais un énoncé comme cela n'a rien à faire en prépa (j'ai pas dit qu'il n'y avait pas de solution/explication). Et pourtant, c'est comme ça que je lis certaines définitions. Pour moi elles ne sont liées à rien que je connaisse donc elles ne veulent rien dire.

[gg0]

Désolé pour toi.

peux-tu me citer une définition ou un théorème qui dit aussi clairement des contradictions ?

Quant à ton énoncé, déjà en lycée, il arrive qu'en résolvant une équation, on arrive à "x=1 et x=-1" (sous-entendu, s'il y a une solution x) et tu sais depuis longtemps que ça signifie qu'il n'y a pas de solution.
Autrement dit, ce qui manque éventuellement, c'est de revenir à la signification des notations.

Je n'ai pas compris ce que tu disais : "mais un énoncé comme cela n'a rien à faire en prépa" ??? Tu parles pour toi ? Car on peut rencontrer cette phrase aussi en prépa, voire en M2.

Je commence à me demander si tu lis vraiment les mots. Y a-t-il un mot que tu ne comprends pas dans la définition de "famille libre" ? Voire même dans celle d'espace vectoriel ?

Ah, une dernière idée : Il ne faut pas confondre "je n'arrive pas à m'en servir" avec "je ne comprends pas". Mais tes questions de départ n'étaient pas de cet ordre.

[to175]

Je faisais référence à 1=-1 (qui peut être le sujet d'une thèse par exemple)
Mais peu importe, oui c'est aussi que je n'arrive pas à m'en servir...

[redrum13]

Bon écoute to, une famile de vecteurs est libre ou liée, tout part de là.
Si elle est liée on peut constituer le vecteur nul. Autrement dit tu as une famille de vecteurs colinéraires. autrement dit tu peux exprimer un des vecteurs en fonction de tous les autres.

On cherche à construire des espaces de dimensions 1,2,3,4....n avec des *vecteurs*

Et pour ça on a besoin de familles qui définissent ces espaces.
On a besoin de savoir si une famille de vecteurs génère un espace, autrement dit si elle peut "colorier" ou "remplir" l'espace.

Par exemple, avec deux vecteurs libres, tu créé un plan, car toute CL de ces deux vecteurs donne un nouveau vecteur situé sur le plan.
Idem pour une famille de 3 vecteurs libres, toute CL créé un vecteur de l'espace. On dit que cette famille est libre et génératrice de R3.

[to175]

Une CL pour moi c'est la somme des produits vecteurs*scalaire donc pour constituer un vecteur nul je vois pas en quoi 2 colinéaires sont suffisants... ca les annule entre eux, certes, mais il reste les autres produits de la somme...

merci

[minushabens]

bonjour,

j'ai l'impression qu'il te faudrait revoir la logique. Une famille de vecteurs n'est pas libre si et seulement si il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls. Si dans ta famille il y a deux vecteurs égaux il te suffit de considérer la combinaison linéaire qui leur affecte les coefficients 1 et -1, et 0 aux autres vecteurs. Tu n'as pas à te préoccuper de toutes les combinaisons linéaires.

[to175]

Merci bien

[to175]

Merci bien .