Bonjour, j'ai plusieurs questions sur les familles de vecteur svp
1. Comment visualiser une famille libre, et liée ? Je n'arrive pas a saisir le sens malgré les formules...
2. Je ne comprends pas cette propriété : Une famille à un élément (x) est libre ssi x différent de 0E.
3. Est-ce qu'une sur-famille de (x2,x3,...,xn-1) est par exemple (x1,x2,...,xn) ?
4. On dit que cette famille est génératrice de E lorsque E = vect(v1, · · · , vp), c’est-
à-dire que tout vecteur de E peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs
(v1, v2, · · · , vp). Je ne comprends pas trop, c'est pas plutôt "c'est a dire que E s’écrit comme l’ensemble des combi linéaires de vecteurs (v1, v2, · · · , vp)" ? Enfin avec la première phrase de l’énonce je vois pas en quoi ce sont les vecteurs de E qui s’écrivent comme combinaison linéaire, mais j'ai plus l'impression que c'est E qui s'ecrit comme combinaison linéaire... non ?
5. Un EV s’écrit toujours Vect(...) ? Genre E = vect(v1, v2) on peut toujours écrire ca s'il est fini ? Ou il faut obligatoirement que la famille (v1, v2) soit generatrice ? Et donc si elle est pas generatrice, comment je peux ecrire E autrement ?
6. L’énoncé suivant m'a l'air très abstrait, vous pourriez me le détailler svp ? Comment visualiser ca ?
Soit E est un espace vectoriel de dimension finie et G une famille génératrice
finie de E. Toute famille libre contenue dans G peut, à l’aide d’éléments de G, être
complétée en une base de E
7. Est-ce que si (u1, u2, u3) est une base de E alors (u1, 2u2, 1/2 u3) est aussi une base de E ?
8. Est-ce que quand on dit "K est de dimension 1 sur K avec comme base (1)" il s'agit de K ensemble des scalaires ? C'est quoi précisément un scalaire ? Et est-ce que c'est de dimension 1 parce que K est une droite ?
9. Kn est de dimension n sur K avec comme base appelée base canonique(ei)1≤i≤n où ei = (0, 0, · · · , 1 ième coordonnée, 0, · · · , 0). Pourquoi la ieme coordonnee vaut 1 ?
10. Vous auriez une démonstration pour : Soit B une famille de vecteurs d’un espace vectoriel E de dimension
n. Les propositions suivantes sont équivalentes :
(i) B est une base.
(ii) B est une famille libre à n vecteurs (dite famille libre maximale).
(iii) B est une famille génératrice à n vecteurs (dite famille génératrice minimale).
Je croyais que base = libre + generatrice alors que la il dit tout est equivalent
merci
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