unités et vecteurs : qui porte la culotte, les coordonnées ou les vecteurs de base??

[mach3]

Bonjour à tous,

Je fais face à quelques questionnement concernant les vecteurs et les unités de mesure (ou plus généralement les dimensions).

D'abord voici le cadre particulier qui à fait naitre ce questionnement d'ordre plus général. Je considère (dans le cadre de la thermodynamique pour préciser) un espace vectoriel dont chaque point représente un état, de coordonnées (S, V, n) (entropie, volume et quantité de matière) par rapport à une base qui convient. Je considère d'autre part un espace dual dans lequel les coordonnées dans la base duale sont (T, -P, µ) (la température, l'opposé de la pression et le potentiel chimique). De cette façon si je définis l'énergie interne U comme une fonction sur mon espace, le gradient de cette énergie interne est un covecteur dans l'espace dual. Ainsi quand j'applique mon gradient à un vecteur, j'obtiens l'énergie interne :



Voici le problème, qui lui n'est pas lié à thermo mais plutôt aux maths :
Sachant que le résultat du produit d'un covecteur par un vecteur ne dépend en aucun cas de la base choisie, je pourrais tout à fait choisir une base quelconque dans laquelle mes coordonnées serait, par exemple (S+V, S+n, n+V) (les coordonnées des covecteurs changeant de concert évidemment) mais dans ce cas que dire des unités de ces coordonnées vu qu'on somme, par exemple, des J/K avec des m³ . Ce n'est évidemment qu'une situation transitoire vu qu'une fois qu'on calcule le produit, tous les termes "bâtards" s'annulent entre eux, mais c'est quand même perturbant de passer par une étape "illégale" dans le calcul simplement parce qu'on a choisi une base au hasard.

Du coup je me suis demandé : est-ce que les unités (ou les dimensions) sont portées par les coordonnées ou alors par les vecteurs de base? dernière option qui me vient alors que j'écris ce post, est-ce qu'elles ne seraient pas planquées dans les coefficients de la matrice de changement de base?

quelqu'un à une idée la-dessus?

merci

m@ch3
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[Amanuensis]

Du coup je me suis demandé : est-ce que les unités (ou les dimensions) sont portées par les coordonnées ou alors par les vecteurs de base?

Des réminiscences que je n'ai pas vérifiées : il me semble que j'ai posé la question à Rincevent dans des échanges MP dans le temps (dans une vie antérieure), et qu'il avait répondu que la convention est plutôt de prendre des vecteurs de base sans dimension. Donc que les unités sont entièrement sur les coordonnées.

Toujours de mémoire, un argument est que cela permet d'avoir la même base pour vitesse et accélération par exemple, sans distribuer les unités des deux côtés à la fois (une autre option étant de mettre L pour les vecteurs de base, et soit T^-1 soit T^-2 sur les coordonnées, selon ; même si on peut trouver des arguments pour cela, c'est un peu compliqué...).

[Amanuensis]

Maintenant, l'autre question que tu poses est celle des systèmes de coordonnées inhomogènes.

Le cas particulier que tu poses me semble mal posé. Tu parles de coordonnées (S+V, S+n, n+V), mais c'est incorrect. Tout ce que tu peux faire, c'est (aS+bV, cS+dn, en+fV), avec des coefficients explicites. En les mettant à 1 tu ne les écris plus, mais ils sont toujours là, avec leur dimension.

En gros, le tour de passe-passe c'est choisir des valeurs à 1 et faire croire qu'elles sont sans dimension. Ce n'est pas le cas 1 m/s a beau valoir 1, ce qui permet d'écrire x = t, mais ce 1 a quand même une dimension !

[mach3]

Maintenant, l'autre question que tu poses est celle des systèmes de coordonnées inhomogènes.

Le cas particulier que tu poses me semble mal posé. Tu parles de coordonnées (S+V, S+n, n+V), mais c'est incorrect. Tout ce que tu peux faire, c'est (aS+bV, cS+dn, en+fV), avec des coefficients explicites. En les mettant à 1 tu ne les écris plus, mais ils sont toujours là, avec leur dimension.

En gros, le tour de passe-passe c'est choisir des valeurs à 1 et faire croire qu'elles sont sans dimension. Ce n'est pas le cas 1 m/s a beau valoir 1, ce qui permet d'écrire x = t, mais ce 1 a quand même une dimension !

merci, cela confirme ce que j'ai intuité pendant l'écriture de ma question à propos des coefficients de la matrice de changement de base! Comme quoi il suffit parfois simplement d'expliquer son problème pour en voir le début de la résolution.

Ces coefficients sont donc dimensionnés comme il faut, ce qui évite les problèmes d'homogénéité quand on effectue la combinaison linéaire des coordonnées elles-aussi dimensionnées...

J'y vois plus clair, merci.

Cela dit on peut très bien de la même manière faire porter les unités aux vecteurs de base vu que la matrice de changement de base éviterait les problèmes de la même manière lors du choix d'une autre base...

En tout cas d'après tes "réminiscences" ce choix est conventionnel, donc il n'y a pas d'impossibilité de principe à mettre les unités sur les coordonnées ou les vecteurs de base (ou de faire un truc mixte entre les deux) du moment que l'on reste cohérent avec ce choix.

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

D'une certaine manière, c'est assez formateur de jouer avec différentes conventions. Comme tu dis, suffit d'être cohérent. Et cela donne un certain recul.

Par exemple, je sais qu'il y a des auteurs (et non auteurs) qui jettent l'anathème sur les coordonnées inhomogènes ; mais comme ça marche (en général j'écris la RR en inhomogène !), je ne vois pas d'objection rationnelle.

Je n'avais pas percuté que les coordonnées inhomogènes sont "naturelles" en thermo...

[Rincevent]

salut

deux remarques en passant :

- ce que j'avais raconté autrefois se plaçait dans le cadre de la RG ou de la RR, c'est assez différent... et pour résumer, je dirais qu'effectivement c'est surtout affaire de convention (personnelle ou pas)

- en thermo on n'a pas de structure vectorielle ni de métrique... je ne vois pas le sens que ça a d'ajouter des énergies avec des volumes... généralement, on introduit une structure de variété (pas d'addition définie donc) et on peut faire des choses géométriques jolies et rigoureuses dans le cadre de la géométrie de contact.

[Amanuensis]

- en thermo on n'a pas de structure vectorielle

Si on modélise par une structure de variété différentielle, est-ce que cela n'implique pas qu'on travaille avec un espace vectoriel tangent en chaque point ? Quand on écrit des additions genre pdV+TdS, l'addition n'est-elle pas celle de la structure vectorielle du cotangent ?

(Mach3 a écrit "Je considère (dans le cadre de la thermodynamique pour préciser) un espace vectoriel dont chaque point représente un état". Il aurait dû écrire "une variété dont chaque"..., c'est peut-être à cela que répond la remarque ?)

[Amanuensis]

PS HS : @Rincevent

Tu as réussi à installer un test qui t'envoie un MP dès qu'il y a le mot "Rincevent" dans un message dans un forum FS ? (Ou tu lis tous les messages en physique mais n'interviens que très rarement ? Ou encore, coïncidence ?)

[Rincevent]

salut

Il aurait dû écrire "une variété dont chaque"..., c'est peut-être à cela que répond la remarque ?)

oui

car changer des coordonnées sur un espace affine ou sur une variété c'est pas tout à fait pareil

PS HS : @Rincevent

Tu as réussi à installer un test qui t'envoie un MP dès qu'il y a le mot "Rincevent" dans un message dans un forum FS ? (Ou tu lis tous les messages en physique mais n'interviens que très rarement ? Ou encore, coïncidence ?)

chacun est libre de ses croyances

ps: tu devrais vraiment regarder la géométrie de contact, je suis certain que ça te plaira

[mach3]

- en thermo on n'a pas de structure vectorielle ni de métrique...

pas de métrique oui, pas de structure vectorielle là je suis moins d'accord, je traite mes n-uplet (S,V,n1,n2...) comme des coordonnées de vecteurs depuis un certain temps maintenant et j'obtiens des résultats satisfaisant. Le seul problème que je rencontre c'est quand je me pose, comme maintenant, des questions sur les unités.

généralement, on introduit une structure de variété (pas d'addition définie donc) et on peut faire des choses géométriques jolies et rigoureuses dans le cadre de la géométrie de contact.

je ne connais pas mais c'est peut-être ce que je fais sans le savoir alors... Ce qui me parait bizzare, c'est que mon addition me semble bien définie.

m@ch3

[Amanuensis]

pas de métrique oui, pas de structure vectorielle là je suis moins d'accord, je traite mes n-uplet (S,V,n1,n2...) comme des coordonnées de vecteurs depuis un certain temps maintenant et j'obtiens des résultats satisfaisant.

Une variété peut être homéomorphe à Rⁿ ou un ouvert de Rⁿ. L'homéomorphisme permet "d'importer" la structure vectorielle de Rⁿ, mais elle est arbitraire et sans sens physique ou mathématique.

Le seul problème que je rencontre c'est quand je me pose, comme maintenant, des questions sur les unités.

Problème mathématique... Mais du point de vue physique quel peut être le sens de l'addition de températures par exemple ?

Ou, autre manière de montrer le même problème, qu'est-ce qu'il se passe si tu remplaces la température T par log(T/T0) ? Ca marche pareil, non ? Si un changement de coordonnée non linéaire permet de garder le sens physique, difficile d'y voir une structure vectorielle, non ?

Ce qui me parait bizzare, c'est que mon addition me semble bien définie.

Est-ce que c'est autre chose que l'addition "héritée" de Rⁿ ?

[mach3]

Une variété peut être homéomorphe à Rn ou un ouvert de Rn. L'homéomorphisme permet "d'importer" la structure vectorielle de Rn, mais elle est arbitraire et sans sens physique ou mathématique.

la structure vectorielle que je considère serait donc ad hoc...

Problème mathématique... Mais du point de vue physique quel peut être le sens de l'addition de températures par exemple ?

C'est vrai qu'il y a un souci, quand je suis dans mon "espace" (S,V,n) pas de souci d'addition des vecteurs vu que les coordonnées sont des grandeurs extensives, par contre dans le dual en (T, -P, µ) ce genre d'addition ne veut rien dire. En fait vu que je travail uniquement à l'équilibre thermo, mon système est toujours à un point unique du dual et quand je déplace l'équilibre, il se déplace sur une hypersurface (une des coordonnées étant fonction des 2 autres à l'équilibre).
Autre problème maintenant que j'y réfléchi, quand je considère une addition entre des vecteurs du premier "espace", les vecteurs en question représentent des phases à l'équilibre thermo entre elles et la somme représente le système total. Si les phases que j' "additionne" ne sont pas à l'équilibre en revanche, le résultat est faux car pour retourner à l'équilibre, mon système total va bouger de l'addition "naïve" à un autre point (variations d'entropie et de volume de mon système dues au mélange par exemple).

Ou, autre manière de montrer le même problème, qu'est-ce qu'il se passe si tu remplaces la température T par log(T/T0) ? Ca marche pareil, non ? Si un changement de coordonnée non linéaire permet de garder le sens physique, difficile d'y voir une structure vectorielle, non ?

effectivement...

j'ai besoin de réfléchir à tout ça... concernant la géométrie de contact, le wiki me semble un peu obscur. Quelqu'un a-t-il un lien pour aborder ça simplement?

m@ch3

[Amanuensis]

j'ai besoin de réfléchir à tout ça... concernant la géométrie de contact, le wiki me semble un peu obscur. Quelqu'un a-t-il un lien pour aborder ça simplement?

J'essaye avec les deux pdf sur ArXiv donnés en lien comme "introductions" dans l'article Wiki. Aucune idée encore si cela permet d'aborder "simplement"

[mach3]

J'essaye avec les deux pdf sur ArXiv donnés en lien comme "introductions" dans l'article Wiki. Aucune idée encore si cela permet d'aborder "simplement"

Le mot qui me vient au regard de ces deux documents est "Ouch!". Je suis encore bien loin d'arriver à saisir ça, je pense que je vais bricoler dans ma structure vectorielle ad hoc, ça sera très bien pour l'instant...

m@ch3

[stefjm]

Le mot qui me vient au regard de ces deux documents est "Ouch!". Je suis encore bien loin d'arriver à saisir ça, je pense que je vais bricoler dans ma structure vectorielle ad hoc, ça sera très bien pour l'instant...

Jamais facile les liens de Rincevent!
C'est déjà lui qui m'avait renseigné sur la géométrie symplectique quand je me posais des questions bêtes sur les dimensions.

[Amanuensis]

Le mot qui me vient au regard de ces deux documents est "Ouch!".

Sont pas très aidant pour voir le rapport avec la physique ; pour les maths ça demande des bases en géo diff... Ca me plait bien, Rincevent avait raison.

J'ai trouvé cela pour une intro et la relation avec la thermo :

http://www.fys.ku.dk/~andresen/BAhom...ermoStates.pdf

[mach3]

merci pour le lien , ça à l'air de tomber tout pile dans ce que j'essaie d'explorer!

m@ch3

[mach3]

Ca reste pas super évident, j'ai beaucoup de mal avec produit extérieur (le wedge)... autant j'ai bien assimilé le produit tensoriel et les tenseurs autant la notion de produit extérieur et de k-vecteurs
Je me bouffe des pages et des pages de wiki mais je crois que je me noie...

m@ch3

[Amanuensis]

produit extérieur (le wedge)... autant j'ai bien assimilé le produit tensoriel et les tenseurs autant la notion de produit extérieur et de k-vecteurs

Pourtant, si tu vois bien le produit tensoriel et les tenseurs, le reste en découle.

Le produit extérieur, c'est le produit tensoriel modulo l'anneau engendré par les , c'est à dire que c'est le produit tensoriel dans lequel on "annule" tout terme de la forme avec x un vecteur(1).

Du coup le produit est anticommutatif parce que



donc modulo les , il reste



À l'instar de ce cas, toutes les propriétés du produit extérieur découle de ça : le produit tensoriel modulo un anneau.

Un k-vecteur, c'est juste un élément de k fois un tenseur contravariant d'ordre k, totalement antisymétrique, c'est à dire modulo les

(Et une k-forme, c'est la même chose en prenant comme espace vectoriel le dual...)

Une sorte d'arithmétique avec un produit (le produit tensoriel) et des modulos...

(1) et pas autre chose. Par exemple en dimension 4 n'est pas nul si avec les e_i formant une famille libre. Je précise, parce que cela m'a gêné dans le temps (comme il n'y a pas de cas avant la dimension 4, on peut aisément louper le point si on prend des exemples seulement en dimension 3 ou moins)...

Autre point de plantage, le produit vectoriel en dimension 3 n'est pas le produit extérieur mais le dual de Hodge du produit extérieur : . Là encore, faut avoir ça en tête quand on travaille en dimension 3...

[Amanuensis]

Je me bouffe des pages et des pages de wiki mais je crois que je me noie...

En moyenne, ce n'est pas le wiki qui m'a vraiment aidé (je suis totalement auto-didacte dans ces matières, avec l'aide ponctuelle de quelques intervenants sur FS, comme Rincevent).

Le wiki francophone m'est très rarement utile, quand je cherche sur le wiki, c'est l'anglophone. Mais même là, ça manque sérieusement de pédagogie, cela ne permet pas en général un apprentissage progressif des concepts.

C'est surtout des cours trouvés sur le web (voir la biblio FS) qui m'ont permis de progresser.

[mach3]

Alors là chapeau, tu viens d'expliquer simplement le point exact où je bloquais!

Le produit extérieur, c'est le produit tensoriel modulo l'anneau engendré par les , c'est à dire que c'est le produit tensoriel dans lequel on "annule" tout terme de la forme avec x un vecteur(1).

Du coup le produit est anticommutatif parce que



donc modulo les , il reste

c'est tellement plus accessible que les sites que j'ai trouvé qui parlent du quotient de l'algèbre tensoriel par l'idéal généré par
Les quotients entre structure ça remonte à trop loin, les algèbres c'est un peu nouveau et la notion d'idéal était totalement nébuleuse donc je bitais que dalle.

merci pour tes éclaircissements!

m@ch3

[mach3]

C'est surtout des cours trouvés sur le web (voir la biblio FS) qui m'ont permis de progresser.

C'est vrai que j'avais trouvé un super cours sur l'algèbre linéaire et multilinéraire l'été dernier, et tout s'était très bien passé (groupes, anneaux, corps, isomorphismes, espaces vectoriels, algèbre tensorielle) jusqu'à ce que j'arrive à l'algèbre extérieure... je devais pas encore être prêt à aborder ça...
Je vais me remettre dans ce cours je pense. Si ça t'intéresse, c'est là : http://www1.mengr.tamu.edu/rbowen/

m@ch3

[Amanuensis]

c'est tellement plus accessible que les sites que j'ai trouvé qui parlent du quotient de l'algèbre tensoriel par l'idéal généré par

Ça c'est la définition propre et rigoureuse. Ce que j'ai indiqué ne l'est pas vraiment, mais c'était pour montrer l'idée

[mach3]

je te relis et je rebloque sur un truc :

Un k-vecteur, c'est juste un élément de k fois un tenseur contravariant d'ordre k, totalement antisymétrique, c'est à dire modulo les

si je prends k=2 , ca donne un truc comme avec et ou c'est autre chose?
parce si je fais ça et que je prends dim(E) = 2 j'obtiens , ça multiplie juste mon tenseur par une constante. bizarre.

m@ch3

[Amanuensis]

si je prends k=2 , ca donne un truc comme avec et ou c'est autre chose?
parce si je fais ça et que je prends dim(E) = 2 j'obtiens , ça multiplie juste mon tenseur par une constante. bizarre.

Je ne te suis pas du tout, là.

, ok, c'est un élément de , mais avec les indices en bas tu introduis un tenseur covariant A ? Quel est le but ? Qu'est-ce qu'il représente ?

---------------------

Sinon, le plus simple pour "faire le modulo" d'un tenseur d'ordre 2 (si c'est bien cela que tu cherches à faire ), c'est d'antisymétriser le tenseur. En partant de un tenseur d'ordre 2 quelconque on obtient son "modulo" (et donc un 2-vecteur) par



Une manière de voir que c'est équivalent au modulo est de réaliser qu'on peut mettre



sous la forme d'une combinaison linéaire de termes genre , parce que (encore une fois...)

[mach3]

Je ne te suis pas du tout, là.

, ok, c'est un élément de , mais avec les indices en bas tu introduis un tenseur covariant A ? Quel est le but ? Qu'est-ce qu'il représente ?

en fait je n'ai pas bien compris ta phrase (citée dans mon message précédent) et en plus j'ai fait une confusion covariant/contravariant (ce qui m'arrive de moins en moins souvent rassure-toi)
En gros j'avais compris cette phrase comme "un élèment de ExExE...xE, multiplié k fois par un tenseur covariant d'ordre k", ce qui n'était pas du tout ça à l'évidence... c'était plutot pour dire "un tenseur antisymétrique d'ordre k qui est élément de ExEx...xE (k fois)".

En tout cas ta nouvelle explication est plus claire.

Donc dans l'algèbre extérieure on se restreint, en quelque sorte, à certains tenseurs de l'algèbre tensorielle, qui partagent certaines propriétés.

m@ch3

[Amanuensis]

Oui, il manquait une virgule après "k fois", je m'en suis rendu compte trop tard... Entre ce que je pense et ce que tape, il y souvent de grosses différences...

Donc dans l'algèbre extérieure on se restreint, en quelque sorte, à certains tenseurs de l'algèbre tensorielle, qui partagent certaines propriétés.

Oui, c'est ça. Tout comme travailler modulo 2 c'est faire de l'arithmétique en se restreignant à "une partie des entiers".

Mais ce sont pas pas n'importe quelles propriétés ! Cela permet de modéliser en physique des notions comme surface, volume, etc. et donc densité volumique, flux à travers une surface, etc. La dérivée extérieure permet la "physique comptable", avec le théorème de Stokes ; c'est à dire permet de gérer les grandeurs conservatives.

Et maintenant (pour moi) cette notion de géométrie de contact

La physique est pleine d'algèbre extérieure

(Notons que même dans "l'enseignement élémentaire", il y en a plein de traces, mais elles sont "déguisées", leur origine et parenté sont "cachées") ; avec des notions comme le courant, la divergence, le rotationnel, le produit vectoriel, le théorème de Gauss, le déterminant, le produit mixte, etc.)

[mach3]

Bon, j'ai bien progressé et j'ai réussi à aller au bout du document, même si c'est pas encore digéré, par contre certains détails me bloquent à propos des formes différentielles.
Habituellement quand je contracte un vecteur et un covecteur, ben j'ai un scalaire, mais quand mon covecteur est une forme différentielle, c'est quoi la nature de mon vecteur et qu'est-que j'obtiens quand je les contracte??

m@ch3

[Amanuensis]

Bon, j'ai bien progressé et j'ai réussi à aller au bout du document, même si c'est pas encore digéré, par contre certains détails me bloquent à propos des formes différentielles.
Habituellement quand je contracte un vecteur et un covecteur, ben j'ai un scalaire, mais quand mon covecteur est une forme différentielle, c'est quoi la nature de mon vecteur et qu'est-que j'obtiens quand je les contracte??

À l'ordre 1, il n'y a pas de différence entre 1-forme et covecteur.

La différence apparaît à partir de l'ordre 2. Mais même alors, la notion de contraction est la même.

Il doit y avoir quelque chose de plus profond dans le blocage, pas assez d'élément pour voir quoi.


Note : Dans l'article "ThermoStates", ils limitent "forme différentielle" à la notion de champ de 1-formes.

[mach3]

Il doit y avoir quelque chose de plus profond dans le blocage, pas assez d'élément pour voir quoi.

et bien d'habitude, je peux exprimer ma contraction comme

les vecteurs de bases e^i et e_i étant définis de façon à ce que leur contraction donne le delta de Kronecker.

Mais que je considère des 1-forme différentielles, mes covecteurs de base sont des . Je ne vois pas avec quoi contracter un dx_i pour que ça donne soit 1 soit 0... et parallèlement, je vois pas avec quoi contracter un dU pour qu'il deviennent un nombre et encore moins ce que ce nombre signifie...

m@ch3

PS : en fait rien qu'en essayant d'expliquer mon blocage, je crois avoir trouvé, mais bon, je te laisse me dire ce que je pense que tu vas dire, histoire d'être sûr...