Bonsoir à tous,
J'aimerais votre aide si possible à un exercice où l'on me demande à la première question de montrer que le vecteurde terme général
je suis entrain de suivre la définition mais je rencontre des difficultés pour débuter.
Merci d'avance
Bonjour
le vecteur x il est dans quoi?
l'opérateur A quel est son domaine?
Bonjour
Merci
Bonjour
On montre que y_n^2\leq 2(x_{2n-1}^2+x_{2n-1}^2). En sommant on obtient ||y||^2\leq 4 ||x||^2. Ce qui montre bien que y est ds l^2 et que A est un opérateur continu.
Pour montrer que A est surjective c'est facile. Il suffit de trouver une solution au système d'équation
y_n^2=x_{2n-1}+x_{2n-1}
On pourra choisir x_0=0, x_1=y_2 puis x_2=y_3-y_2,.....
Bonsoir,
je crois dans votre démonstration il y'a une petite confusion au niveau des indices.
Merci bien
oui effectivement mais c'est facile à corriger. Une remarque l'opérateur A n'est pas injectif. Donc quand on cherche à résoudre pour la surjectivité y=Ax on
trouve plusieurs solutions.
Merci pour votre aide, pour le noyau de A j'ai trouvé
Bonjour
Pour répondre correctement, je vois plusieurs problèmes dans l'énoncé:
1. Je ne vois pas de question concernant la base hilbertienne.
2. Je voudrais revenir sur la définition de l'opérateur A car je n'ai pas bien fait attention mais il n'est pas clairement défini à mon avis.
Mais avant tout la façon de montrer que Ax est dans l^2 est basée sur l'inégalité que j'ai donnée.
maintenant si x est dans l^2 , x=(x_0,x_1,...,) ou bien x=(x_1,x_2,...,) (c'est à dire l'indiçage commence à 0 ou bien à 1?)
d'autre part la définition de Ax=y c'est y_2=x_2+x_3, y_3=x_4+x_5,...; c'est bien cela?
mais alors y_1=???
Bonjour, effectivement vous avez raison, ça commence par 1 avec dans la définition de Ax=y on a y_1=x_1, y_2=x_2+x_3 et plus généralement y_n=x_(2n-2)+x_(2n-1) (n>=2). La question concernant la base hilbertienne vient après les questions que j'ai eu à vous poser.
Rebonjour,
Donc il faut corriger. Pour y_in l^2 pas de pb il faut adapter un peu.
Par contre surjectif.
on peut prendre pour x: x_1=y1, et x_{2n-2}=y_n et x_{2n-3}=0, n=2,....n,
En fait c'est tout bête il suffit de trouver une solution particulière au système Ax=y.
Pour le noyau idem Il faut résoudre Ax=0.
C'est facile x doit vérifier x_1=0 x_{2n-2}=-x_{2n-3} , n=2,....
Par contre répondre <e_{2k-2}+e_{2k-1}>orthogonal n'a pas de sens vraiment. Disons que ce n'est pas précis: Est-ce que cela veut dire orthogonal de
l'espace engendré par la famille <e_{2k-2}+e_{2k-1}> ? mais alors il faut dire pour quels k. Peut être k=2,....Si c'est ce que tu veux dire dans ce cas je pense que c'est correct.
Re : Analyse fonctionnelle
Rebonjour,
oui je voulait dire l'orthogonal de l'espace engendré par la famille
Merci
Mais c'est quoi la question? base hilbertienne je ne peux pas deviner
On me demande de déterminer le noyau de l'opérateur A et en donner une base hilbertienne.
Vu les réponses (concernant le noyau) c'est assez facile de voir que la famille v_k=e_{2k-2}-e_{2k-1}, k\geq 2
est dans le noyau , que tout élément du noyau est une CL des v_k. De plus cette famille est orthogonale c'est donc une base hilbertienne du noyau. Pour la rendre orthonormale il suffit de diviser chaque vecteur v_k racine de 2
Merci beaucoup pour vos éclaircissements, une dernière question pour la norme de A, j'avais obtenu racine 2 mais après j'ai vu que j'avais omis la partie où y1=x1, ce qui change tout. J'avoue je suis vraiment perdu à des indices là.
Pour La norme de A:
On a donc effectivement
Maintenant avec X=(0,1,1,0,0......) je crois que ce sup est atteint d'où la norme de A est
Merci infiniment à vous, à présent j'ai bien compris.
