Je me présente: je suis étudiante en master mathématiques et j'en ai quelques problèmes dans l'un des exercices. Le voici ci dessous.

Exercice:

Soit H un espace de Hilbert de dimension infinie, et T : H --> H un opérateur linéaire , continu, et tel que N(T)={0}.
Soit b appartient à H , on cherche à résoudre l'équation (1) T*Tx=b
On montre tout d'abord que N(T*T)={0} et que R(T*T) est dense dans H puis il nous demande si R(T*T) est fermée ou non? Bon, c'est ici que j'en ai des problèmes à trouver la réponse.
Ensuite, on suppose que l'équation (1) admet une solution pour tout b.
On montre dans ce cas que T*T est un isomorphisme.
Puis, il nous demande de montrer que R(T) est fermée? Là, aussi j'ai pas pu le démontrer.
Pour la fin de l'exercice, je n'ai pas trouvé des problèmes.

Autre question: Lorsqu'il s'agit d'un espace de Hilbert H, on sait que H et H' sont isomorphes. Je me demande la question est ce qu'on peut toujours les identifier, s'il ne mentionne rien dans l'exercice?

Je serai reconnaissante si vous me répondez le plus tôt possible.

Cordialement.