Probleme intégrales complexes

[Bartolomeo]

Bonjour,
j´ai pas mal d´exercices dans le même style, malheureusement je n´ai pas les réponses. Un coup de main pour celle ci me sera bien utile pour comprendre et résoudre les autres.

Soit a, b des nombres réels positifs et C la courbe définie sur par .
Comment montrer que:

(a)
(b)

Cordialement.
Bart
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[Armen92]

Bonjour,
j´ai pas mal d´exercices dans le même style, malheureusement je n´ai pas les réponses. Un coup de main pour celle ci me sera bien utile pour comprendre et résoudre les autres.

Soit a, b des nombres réels positifs et C la courbe définie sur par .
Comment montrer que:

(a)
(b)

Cordialement.
Bart

a) C'est le théorème de Cauchy : l'intégrale le long de l'ellipse est égale à l'intégrale le long du cercle.
b) Quand on paramétrise l'intégrale de le long de l'ellipse, qui vaut , on trouve d'une part l'intégrale cherchée (au facteur près), d'autre part une autre intégrale visiblement nulle, d'où le résultat cherché.

[Bartolomeo]

pour a) C´est le théorème qui dit que pour toute courbe fermée dans une zone étoilée l´intégrale d´une fonction holomorphe est nulle.
Je dois donc montrer que f(z)=1/z est holomorphe c´est ca?

Comment paramétriser le long de l´ellipse?

[Armen92]

1) C´est le théorème qui dit que pour toute courbe fermée dans une zone étoilée l´intégrale d´une fonction holomorphe est nulle.
Je dois donc montrer que f(z)=1/z est holomorphe c´est ca?

2) Comment paramétriser le long de l´ellipse?

1) Oui
2)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Armen92]

1) Oui
2)

Complément :
1)
est holomorphe dans toute couronne excluant l'origine.

2)

où est une boucle quelconque ceinturant l'origine dans le sens positif.

[Bartolomeo]

Complément :
1)
est holomorphe dans toute couronne excluant l'origine.

mais dans ce cas il n´est plus possible de dire qu´il s´agit d´une zone étoilée puisqu´une couronne n´en est pas une? Ce n´est donc pas le bon theorème de Cauchy que je ciblais.

[Armen92]

mais dans ce cas il n´est plus possible de dire qu´il s´agit d´une zone étoilée puisqu´une couronne n´en est pas une? Ce n´est donc pas le bon theorème de Cauchy que je ciblais.

Cauchy était le plus prolixe des mathématiciens (environ 500 articles majeurs...), et nombre de théorèmes portent son nom. LE grand théorème de Cauchy que j'ai cité est celui affirmant que l'intégrale d'une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe ne dépend pas du chemin suivi.
Avec un corollaire immédiat : avec les mêmes hypothèses, l'intégrale sur toute boucle est nulle.

[Bartolomeo]

je ne comprends pas pourquoi il s´agit d´un domaine simplement connexe, puisque nous parlions d´une couronne autour de l´origine?!

[Armen92]

je ne comprends pas pourquoi il s´agit d´un domaine simplement connexe, puisque nous parlions d´une couronne autour de l´origine?!

J'ai parlé de couronne à propos de qui, justement, n'est pas holomorphe dans un domaine simplement connexe contenant l'origine, et dont l'intégrale sur une boucle contenant celle-ci, justement, n'est pas nulle mais vaut .