Racine infinie

[juliendusud]

Qui parviendra à démontrer que :


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[Médiat]

Bonjour,

Vous devriez vous renseigner sur :

1. l'expansion des réels de Janos Bolyai (nested roots), par exemple : http://ac.els-cdn.com/S0019357700800...1b0de01bbee70a
2. les f-Expansions de Bissinger par exemple : https://projecteuclid.org/euclid.bams/1183506620

[juliendusud]

Bonsoir,

Merci pour les références.
J'ai construit cette expression en suivant la recette indiquée dans le fil "théorie des nombres" qui n'a d'ailleurs pas inspiré beaucoup d'artistes . Je ne pense pas être capable d'apporter moi même la démonstration de ce que je demande, mais je serai très curieux d'en lire une. S'il est facile de construire de telles expressions en partant d'une simple tautologie, la compréhension de l'expression est beaucoup plus complexe et je me demande si l'on pourra apporter une méthode de démonstration aussi générale que sa recette.

[The Tesseract]

Bonsoir,

J'ai un début de réponse :

Posons . On a alors i.e. i.e. (choisissez).
Finalement, |f(n)²-n²| = |f(n+1)-(n+1)|. Peut-être qu'avec des équivalents on pourrait montrer que f(n) = n. Il est tard maintenant, je reviens demain.

Bonne nuit

[A voir en vidéo sur Futura]

[The Tesseract]

En revanche je vois ton schéma :

et donnent

[TEX]n = \sqrt{n^2+n+1-\sqrt{(n+1)^2-(n+2)+\sqrt{(n+2)^2}}}[\TEX].

[Médiat]

Bonjour,

Je reviens à la question initiale : l'expression telle qu'elle est écrite n'a pas de sens, puisqu'une addition (ou toute autre opération) infinie cela n'existe pas.

Il existe un moyen de définir quelque chose qui y ressemble, c'est de définir la suite des sommes partielles (nombre fini d'opérations), si cette suite est convergente, alors on peut définir cette "somme".

Malheureusement dans votre cas ce n'est pas si simple, je vous donne un exemple facilement adaptable à votre cas :
Soit à calculer 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... + n - n ...

Si je pose U_n = 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... + n - n, il est facile de voir que U_n = 0 et donc la limite (pour n tend vers l'infini) est 0
Si je pose U_n = 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... - (n -1) + n, il est facile de voir que U_n = n et donc la limite (pour n tend vers l'infini) est infinie
Si je pose U_2n = 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... + n - n et U_2n+1 = 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 ... + n - n + (n+1), il est facile de voir que U_2n = 0 et U_2n+1 = n +1 et donc la limite (pour n tend vers l'infini) n'existe pas.

[eudea-panjclinne]

C'est le même exercice que précédemment, il suffit de considérer la suite :
a(0)=0
a(n+1)= (n^2+(n+1)(-1)^n-a(n)^2)/(-1)^n

Pour tout n dans IN, a(n)=n.

La suite finie des racines revient à écrire a(0) en fonction de a(n).
L'écriture infinie n'est qu'une façon de parler à mon avis.

[Médiat]

L'écriture infinie n'est qu'une façon de parler à mon avis.

Qui n'a pas de sens cf. ci-dessus.

[eudea-panjclinne]

Si on considère la suite

la suite b est constante pour tout n dans IN et égale à 0.
On a donc :

on a donc :

Y a-t-il donc un problème à écrire, par simple convention d'écriture :
?

[Médiat]

Y a-t-il donc un problème à écrire, par simple convention d'écriture :
?

Oui :
Dans le membres de droite il y a un nombre infini d'opérandes, il y a plusieurs façons de donner un sens à cela mais le cas le plus courant consiste à calculer la limite de calculs partiels, mais ici, il y a, au moins, 3 façons de faire ces calculs partiels qui donnent 3 résultats différents, et je ne vois aucune raison de privilégier l'une plutôt que l'autre ...

[eudea-panjclinne]

j'ai compris.
Merci

[juliendusud]

Oui :
Dans le membres de droite il y a un nombre infini d'opérandes, il y a plusieurs façons de donner un sens à cela mais le cas le plus courant consiste à calculer la limite de calculs partiels, mais ici, il y a, au moins, 3 façons de faire ces calculs partiels qui donnent 3 résultats différents, et je ne vois aucune raison de privilégier l'une plutôt que l'autre ...

Il me semble que toutes les façons de calculer convergent vers le même résultat, dans ce cas ne pourrait-on pas s'autoriser l'usage des 3 points de suspension?

[stefjm]

Oui :
Dans le membres de droite il y a un nombre infini d'opérandes, il y a plusieurs façons de donner un sens à cela mais le cas le plus courant consiste à calculer la limite de calculs partiels, mais ici, il y a, au moins, 3 façons de faire ces calculs partiels qui donnent 3 résultats différents, et je ne vois aucune raison de privilégier l'une plutôt que l'autre ...

Bonjour,
Même pas le prolongement analytique, si apprécié des physiciens?
Julien avait déjà fait référence à la sommation d'Abel ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post5913770
mais restée sans réponses (parce qu'il n'y en a pas? Problème mal posé?).
La sommation d'Abel : https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_...ation_d.27Abel
Cordialement.

[stefjm]

Il me semble que toutes les façons de calculer convergent vers le même résultat, dans ce cas ne pourrait-on pas s'autoriser l'usage des 3 points de suspension?

Si Médiat dit qu'il voit trois façons de sommer qui donnent trois résultats différents, c'est qu'il en a au moins trois sous le coude. Non?
Tu en rates sans doute.
J'imagine que tu connais déjà le théorème de réarrangement de Riemann : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...ent_de_Riemann

[juliendusud]

Si Médiat dit qu'il voit trois façons de sommer qui donnent trois résultats différents, c'est qu'il en a au moins trois sous le coude. Non?
Tu en rates sans doute.

Oui effectivement, je laisse dans ce cas Mediat exposer les 3 cas auxquels il pense.

J'imagine que tu connais déjà le théorème de réarrangement de Riemann : https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorè...ent_de_Riemann

Le théorème d'arrangement s'applique à des séries convergentes, à moins que de réécrire cette expression comme une série je ne pense pas qu'on puisse directement l'appliquer à l'expression étudiée.

[Médiat]

Les 3 façons que j'ai en tête sont les mêmes (adaptées) que celles du message #6, avec un petit détail il vaut mieux commencer à n=2.

[juliendusud]

Les 3 façons que j'ai en tête sont les mêmes (adaptées) que celles du message #6, avec un petit détail il vaut mieux commencer à n=2.

J'ai vu, mais sauf erreur de ma part, une simple calculatrice montre que le calcul converge dans tous les cas de figure et ceci en raison des racines carrées qui "modèrent" la divergence...

[eudea-panjclinne]

Si Médiat dit qu'il voit trois façons de sommer qui donnent trois résultats différents, c'est qu'il en a au moins trois sous le coude.

Selon Stefjm il y a 3 façons de démontrer:
1) Directement
2) Par l'absurde
3) En regardant ce que le chef a sous le coude

Allez Mediat il serait temps de lever le coude.

[Médiat]

ce qui laisse plusieurs possibilités



ce qui laisse plusieurs possibilités



ce qui laisse plusieurs possibilités



Les 2 autres solutions consistent à prendre un résultat sur 2 dans la solution précédente

Mais le plus simple consiste à écrire Un = (avec la solution qui va bien) puis de calculer la limite quand n tend vers l'infini ce qui est un peu triste je l'admets puisque le résultat est trivial, dans ce cas

[juliendusud]

ce qui laisse plusieurs possibilités



ce qui laisse plusieurs possibilités



ce qui laisse plusieurs possibilités



Les 2 autres solutions consistent à prendre un résultat sur 2 dans la solution précédente

Mais le plus simple consiste à écrire Un = (avec la solution qui va bien) puis de calculer la limite quand n tend vers l'infini ce qui est un peu triste je l'admets puisque le résultat est trivial, dans ce cas

Merci, mais ça ne nous dit toujours pas si les différentes suites partielles convergent vers 0 non?

[Médiat]

Si on choisit bien la suite, elle est constante égale à 0

[juliendusud]

Si on choisit bien la suite, elle est constante égale à 0

Jusque là d'accord, mais la question qui se pose c'est : est il possible de choisir la suite de façon à ce qu'elle ne converge pas vers 0 et si oui de quelle manière?
Je ne vois pas comment le démontrer, mais numériquement et sauf erreur de ma part il semblerait que ça converge toujours vers 0 et ce quelque soit l'étape où on s'arrête pour écrire l'expression. On a le même genre d'isolation qu'on a avec les fractions continues, plus on descend en profondeur dans la fraction plus la contribution est faible.
D'ailleurs, serait il possible d'écrire une fraction continue en choisissant la suite u_n de manière ce que A_n diverge ? Une idée ?

[Médiat]

Il y a des cas où la suite prend des valeur non définies, alors parler de convergence ...

Les fractions continues simples (d'entiers), comme celle que vous avez écrites, convergent toutes