Fonction injective

[TesiI]

Bonjour,

Soit n>=2
Je me suis demandé si il existe des fonctions injectives de Mn(R) dans R ( pas forcément des formes linéaires ).
Ca permettrait de donner une relation d'ordre sur les matrices (A R B <=> f(A)<=f(B) ) et caractériser celles-ci sur R avec un autre moyen que la trace et le déterminant, qui ne sont pas du tout injectives.

Intuitivement j'ai l'impression que ça ne peut pas exister, car le cardinal de Mn(R) est "trop grand" par rapport à R ( je sais bien que les deux ont un cardinal infini et donc le même cardinal, mais je pense que vous voyez ce que je veux dire ).

Merci d'avance pour vos réponses.
Bon dimanche
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[Médiat]

Bonjour,

Mn(IR) étant une algèbre de dimension n² sur IR, elle est de même cardinal que IR : et donc il existe des bijections de Mn(IR) dans IR

[TesiI]

Bonjour et merci pour votre réponse rapide.
Pouvez-vous s'il vous plaît me donner un lien pour comprendre votre notation du cardinal de R? Je n'avais jamais vu cela, pour moi le cardinal de R est infini, c'est tout.
Par ailleurs, peut-on exhiber de tels bijections?

[gg0]

Bonjour TesiI.

De toutes façons, si l'ordre mis sur Mn(R) n'a aucun lien avec les opérations matricielles, cette "caractérisation" ne sera pas utilisable. Donc il faudrait trouver, dans l'infinité des bijections entre Mn(R) et R une bijection "utile".

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Pouvez-vous s'il vous plaît me donner un lien pour comprendre votre notation du cardinal de R? Je n'avais jamais vu cela, pour moi le cardinal de R est infini, c'est tout.

Il va vous falloir vous renseigner sur la théorie des ensembles avec au minimum la notion d'Ordinal et de Cardinal, a minima, le théorème de Cantor dit que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble a un cardinal strictement plus grand que le cardinal de l'ensemble (et IR peut être construit comme l'ensemble des parties de IN).

Pour exhiber une telle bijection, on peut, par exemple, établir une bijection entre [0 ; 1[ et [0 ;1[^4 x --> (x0, x1, x2, x3) où xi est le nombre dont les décimales sont celle de x en position congrue à i modulo 4.

Par exemple à 0.14159265..., on fait correspondre (0.19..., 0.42..., 0.16..., 0.55...)

[gg0]

Un bon cours sur la théorie des ensembles est celui de Dehornoy : voir cette page, partie "Logique et théorie des ensembles, Notes de cours, FIMFA ENS, version 2006-2007"; le chapitre 5 traite des cardinaux, mais la lecture des chapitres précédents est intéressante.

Pour une bijection entre Mn(R) et R, on peut commencer par voir que Mn(R) est en bijection canonique (de 2 façons) avec R^n², puis on utilise une des bijections classiques entre R^m et R. Mais ce n'est pas du tout utilisable en pratique.

Cordialement.

[Médiat]

Un bon cours sur la théorie des ensembles est celui de Dehornoy

Je confirme, un des meilleurs sur le net

[TesiI]

Bonjour TesiI.

De toutes façons, si l'ordre mis sur Mn(R) n'a aucun lien avec les opérations matricielles, cette "caractérisation" ne sera pas utilisable. Donc il faudrait trouver, dans l'infinité des bijections entre Mn(R) et R une bijection "utile".

Cordialement.

Bonjour gg0,

Oui en effet, je vois bien que ce ne serait pas utilisable dans ce cas.
De toute manière je ne pense pas que ça serve à quoi que ce soit, même si on trouve une bijection en lien avec ces opérations.

Il va vous falloir vous renseigner sur la théorie des ensembles avec au minimum la notion d'Ordinal et de Cardinal, a minima, le théorème de Cantor dit que le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble a un cardinal strictement plus grand que le cardinal de l'ensemble (et IR peut être construit comme l'ensemble des parties de IN).

Pour exhiber une telle bijection, on peut, par exemple, établir une bijection entre [0 ; 1[ et [0 ;1[^4 x --> (x0, x1, x2, x3) où xi est le nombre dont les décimales sont celle de x en position congrue à i modulo 4.

Par exemple à 0.14159265..., on fait correspondre (0.19..., 0.42..., 0.16..., 0.55...)

Un bon cours sur la théorie des ensembles est celui de Dehornoy : voir cette page, partie "Logique et théorie des ensembles, Notes de cours, FIMFA ENS, version 2006-2007"; le chapitre 5 traite des cardinaux, mais la lecture des chapitres précédents est intéressante.

Pour une bijection entre Mn(R) et R, on peut commencer par voir que Mn(R) est en bijection canonique (de 2 façons) avec R^n², puis on utilise une des bijections classiques entre R^m et R. Mais ce n'est pas du tout utilisable en pratique.

Cordialement.

Je confirme, un des meilleurs sur le net

Merci bien, je vais me renseigner sur ce sujet dés que possible.
Merci Médiat pour la bijection, c'est assez joli je trouve



Merci pour vos réponses,
Respectueusement

[Médiat]

Merci Médiat pour la bijection, c'est assez joli je trouve

Non, pas joli du tout (j'ai honte), par exemple ... a pour image (1, 0, 0, 0) qui n'est pas dans l'ensemble d'arrivée, désolé !