diagonalisation de matrice

[theophrastusbombastus]

Bonjour,
en pleine revision je suis tombé sur une matrice un peu singulière :


et je planche un peu pour les questions :

1) La matrice est elle diagonalisable ?
ayant trouvé une pseudo correction je sais qu'elle l'est mais je ne sais pas comment le montrer. J'avais pensé trouver son polynôme caractéristique mais tout ce que je trouve c'est une sorte de formule de récurrence avec la même matrice en dimension inférieur et ca me semble "trop fastidieux", n'y a t-il pas d'autres manières de faire ?

2) le rang de la matrice est égale a 2, ca c'est évident

3) en déduire que 0 est valeur propre de la matrice, etc...
bon la après si j'arrive a faire la première question je pense que je retomberai sur mes pattes !

merci d'avance pour votre aide
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[Kairn]

Salut !

Pour la 1, connais-tu le théorème spectral sur les matrices symétriques ?

Pour la 3 tu n'as pas forcément besoin de connaître le poly caractéristique pour dire que 0 est valeur propre. On peut utiliser le fait que la matrice est de rang 2 (en fait, ce qui importe est que le rang soit strictement inférieur à n) .

[JB2017]

Bonjour
Effectivement on n'a pas besoin du polynôme caractéristique (au moins pour l'instant) . En effet cela peut dépendre du travail qui est demandé par la suite.
(Il manque deux valeurs propres à connaître)

En tout cas pour démarrer il faut donner le noyau et en donner une base. C'est facile à faire sans calcul.

[theophrastusbombastus]

Tout d'abord merci pour vos réponses !

Pour Kairn,
oui, il dit que les matrices symetriques sont orthogonalement diagonalisable, mais n'ayant pas une "formation mathématique" j'aime bien évité de donner seulement les théorèmes et donner une démonstration, pas forcement dans le cas général mais au moins pour l'exercice (bon pour etre franc meme en connaissant ce theoreme je n'avais meme pas penser a y faire appel)

d'accord... du coup je me replonge dans la question, le résultat que j'aurais aimé trouvé est le suivant : avec

et avec les valeurs propres solutions de

ensuite pour le noyau, on devine assez facilement qu'il est de dimension (par le théorème du rang) et avec une base de ce noyau donné par les vecteurs :
et en fait on retrouve les vecteurs composant la matrice de passage... reste juste que je ne sais pas comment continuer ce problème

[A voir en vidéo sur Futura]

[JB2017]

Bonjour
C'est quoi continuer le problème? Sinon le noyau c'est OK tu as la base et la dimension. Pour le reste (n'ayant pas fait les calculs)
c'est peut ête bon mais tu ne dis pas comment tu as fait.
Admettons que c'est correct. Pour moi tu as fini : tu as la matrice de passage et la diagonale des vp. Donc c'est terminé?