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une injection naturelle non continue

  1. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    une injection naturelle non continue

    Bonjour à tous.
    Si S(1) est l'ensemble des suites sommables et S(2) celui des suites à carrés sommables, il est immédiat que ce sont des espaces vectoriels normés (les normes: somme et somme des carrés). Aussi, S(1) est dans S(2) et l'inclusion est stricte.
    Cela dit, il semblerait que l'injection naturelle de S(1) dans S(2) ne soit pas continue.
    Je ne me visualise pas du tout cette idée. Pourriez-vous m'exhiber une suite de suites de somme aussi petite que l'on veut mais de somme de carrés minorée par une quantité positive et non nulle ?
    Merci.

    -----

     


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  2. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    Je veux dire, est-ce que vous pourriez m'apporter de la lumière à ce sujet ?
     

  3. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 722

    Re : une injection naturelle non continue

    Bonjour.

    Tu es sûr pour la norme sur S(1) ?

    Cordialement.
     

  4. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    Sûr de quoi?! Si c'est bien une norme? Faudrait-il​ que je précise:"Somme des modules" et "somme des carrés des modules"?
     

  5. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 218

    Re : une injection naturelle non continue

    Donc il faut que tu considères les séries absolument convergentes et non simplement convergentes.
     


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  6. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    20 722

    Re : une injection naturelle non continue

    Je lis ce qui est écrit
     

  7. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
    Localisation
    Fresnes
    Âge
    57
    Messages
    23 268

    Re : une injection naturelle non continue

    @Soel:
    déjà, une norme est de E -> R+
    est ce S(1) satisfait ce critère pour toute suite sommable ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    Apparemment c'est un problème de terminologie !!!
    Par ›suite sommable‹ dans un espace vectoriel normé complet, j'entends "la série de terme général la norme du n-ième vecteur, est convergente" de même pour ›carré sommable‹. Mais c'est la définition usuelle des espaces l¹(N) et l²(N), non???

    N:="Ensemble des entiers naturels"
     

  9. Resartus

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Messages
    2 678

    Re : une injection naturelle non continue

    Bonjour,
    Faut-il comprendre que "l'injection naturelle" dont tu parles est simplement l'identité? C'est à dire que la même suite appartient à la fois à l'espace des suites de valeur absolue sommable, et à l'espace des suites de carré sommable?

    Si c'est bien cela, je ne vois pas comment cette injection pourrait ne pas être continue...

    Si on revient aux définitions de la continuité, si deux suites x et y tendent l'une vers l'autre au sens de la norme 1, c'est à dire que somme |xi-yi| est inférieure à epsilon, alors la norme au sens 2 de leur différence, qui vaut somme |xi-yi|² est plus petite que (somme|xi-yi|)² et est donc inférieur à epsilon².

    Quelle est la source qui te fait supposer que ce ne serait pas le cas?


    Ou alors "injection naturelle" a une autre définition....
    Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
     

  10. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    Utilisez la terminologie que vous voulez (pas très important)! Pourvu que S(1) et S(2) soient respectivement, pour un espace vectoriel normé complet E, l'ensemble des suites de E telles que la série des normes associée soit convergente, et l'ensemble des suites de E telles que la série des carrés des normes associée est convergente.
    Ce sont des espaces vectoriels normés.
    (Typiquement l'ensemble des nombres complexes)
    S(1) est inclus dans S(2), mais l'injection de S(1) dans S(2) n'est pas continue ! Je n'arrive pas à le prouver et je demande éclaircissements. Y aurait-il une erreur dans mon livre ?
    Merci.
     

  11. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    En effet, c'est l'identité.
    Ma source: Cours de Mathématiques MP* — Jean VOEDTS. Page 425
    Il y a des exercices difficiles là dedans qui m'éprouvent beaucoup !
     

  12. Soel46

    Date d'inscription
    avril 2016
    Messages
    31

    Re : une injection naturelle non continue

    Bien sûr, la norme sur l'espace des suites à carrés sommables, on prend la valeur absolue pour conserver l'homogénéité.
     

  13. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 218

    Re : une injection naturelle non continue

    Il suffit de construire une suite d'éléments de S2 qui converge vers une suite qui n'est pas dans S1. On aura ainsi un fermé (la suite et sa limite) dont la préimage par l'injection canonique ne sera pas fermée.
     

  14. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 218

    Re : une injection naturelle non continue

    ah ben non, c'est idiot ce que j'ai écrit. Ce n'est pas parce que la suite d'éléments de S1 n'a pas de limite dans S1 que l'ensemble n'est pas fermé...
     

  15. Tryss2

    Date d'inscription
    août 2015
    Messages
    1 201

    Re : une injection naturelle non continue

    (que vous appelez S1 ici) est fermé dans , mais pas dans . C'est assez logique car est dense dans (suffit de prendre une suite arbitraire de , et de garder les n premiers termes : les suites sont dans et convergent vers la suite de )
     


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