Bonjour, je cherche à démontrer l'implication suivante :
u diagonalisable => Ker(u−λId) = Ker(u−λId)² où λ est un scalaire (non nécessairement une valeur propre )
J'ai essayé par la double inclusion mais je ne parviens à aucun un résultat.
Je sollicite vivement votre aide.
Merci
Bonjour,
Evident après changement de base (celle où u est diagonale)....
Why, sometimes I've believed as many as six impossible things before breakfast
Bonjour Resartus et merci de ton aide,
j'ai trouvé que u²(x)=λ²x et donc en développant l'expressions (u-λId)²(x)=0 on a des simplifications mais je bloque dans le cas de λ=0 je n'arrives pas à prouver que ker(u²)=ker(u). Peux-tu me fournir une aide supplémentaire?
Merci
Le cas de λ=0 me tourmente réellement , a-t-on ker(u²)=ker(u)???
pouvez-vous m'aider?
Bonjour,
J'ai l'impression que tu n'as pas compris comment utiliser le fait qu'on peut diagonaliser u.
Je détaille : si on passe dans la base où u est diagonale, les seuls termes non nuls seront sur la diagonale et ce sont les valeurs propres de u. Appelons ces valeurs propres ui (où i varie de 1 à n),
Alors u-lambdaI est également diagonale, et a pour valeurs propres ui-lambda, et (u-lambda.I)² a pour valeurs propres
(ui-lambda)².
il y a autant de valeurs nulles pour u-lambda.I que pour (u-lambda.I)², et ces valeurs propres nulles ont les mêmes vecteurs propres (qui appartiennent donc au Ker), donc les ker sont identiques
Nb : aucun besoin de distinguer le cas lambda=0 : le même raisonnement montre que ker(u) et ker(u2) sont également égaux...
Dernière modification par Resartus ; 31/07/2017 à 22h22.
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Bonsoir Resartus, j'ai très bien compris. Merci de cette seconde explication plus claire.
