recurrence matrice substitutions

[noireau]

Bonjour

Je suis fais un article de biologie théorique.
j'étudie notamment ce que devient un brin d'ARN qui se voit coupé et reconstitué autrement (substitution) sous l'action de la protéine qu'il a synthétisée.
Je me débrouille tres bien pour expliquer la dynamique de ce genre de système et d'en démontrer les propriétés mais il est un cas ou j'arrive a une récurrence de deux produits de matrices de substitutions
et je n'arrive pas a démontrer la propriété.
Je vous donne ce libelle pour vous donner une idée de la raison pour laquelle j'arrive a ce truc, ce n'est pas le sujet de ce message qui est uniquement un problème de mathématiques.

Voici donc le libellé de ce que je n'arrive pas a démontrer (j'ai effectue des récurrences avec des matrices de substitutions quelconques pour un grand nombre de cas et de taille avec mathematica pour être sur de l'affirmation ci dessous) :

Soient deux matrices de substitutions pXp que j'appellerai Ma₀ et Mb₀.

on fait la récurrence :
Ma_n+1=Mb_n.Ma_n
Mb_n+1=Ma_n.Mb_n

il s'agit de démontrer qu'en au plus p-1 (pXp est la taille de la matrice de substitution) coups c'est a dire avant que n n'atteigne p-1 Ma et Mb sont egales a la matrice unité.

J'ai passe pas mal d'heures sans succès, peut être la démonstration est très facile.

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

Pour n'importe quelles matrices, c'est faux, je suppose donc que vos matrices de substitutions ont des caractéristiques dont il faudrait nous parler ...

[minushabens]

Cette appellation vient de la génétique. Mais comme il y a quelques variantes je laisse noireau en donner la définition.

[noireau]

on appelle matrice de substitution une matrice carre qui ne comporte que des 0 sauf un 1 sur chaque ligne et sur chaque colonne, chaque colonne et chaque ligne ne doit contenir qu'un 1 et un seul
Compte tenu de cette particularité on peut les considérer comme des matrices booléennes ou des matrices définies sur le corps des réels indifféremment, je veux dire que les règles de calculs peuvent être indifféremment appliquées.
Il y a pour une matrice carre de taille nXn n! matrices de substitutions.
Je n'ai pas trouve cette terminologie dans l'algèbre générale de Godement ni le défi Algebrique de Mutafian mais dans l'agebre moderne (toutes les éditions) de Lentin et Rivaud.


Je pense que toute ambiguïté est levee

[A voir en vidéo sur Futura]

[minushabens]

ah ok ce n'est pas ce à quoi je pensais. C'est donc une matrice qui décrit une permutation de n objets.

[noireau]

on peut voir ces matrices comme des matrices d'incidence appliquant un ensemble de cardinal n sur lui meme

on peut encore dire que c'est un moyen de représenter les groupes finis etc etc ...

on a d'ailleurs la relation : soit M une telle matrice représentant une telle relation, on appelle clôture transitive de cette relation M_n+1=M_n M_n
On constate qu'en au plus p coups M_p est la matrice unité

[minushabens]

Tu n'as pas défini Mn (ou Mp).

[Resartus]

Bonjour,
Tel qu'écrit, cela me semble faux
Pour trouver un contre-exemple, il suffit de prendre A1=B1. On voit que les Ai=Bi seront les puissances 2,4,8, etc. de A.

Or, il existe des "matrices de substitution" (qu'on appelle d'ailleurs permutations partout ailleurs que dans vos livres, que je neconnais pas) dont l'ordre contient des facteurs autres que 2....
Par exemple, en 3*3 il y a des matrices d'ordre 3 et en 10*10 il en existe d'ordre 30=2*3*5....

Ou alors, il y a d'autres propriétés que vous n'avez pas indiquées : par exemple A1 et B1 sont peut-être des transpositions (c'est à dire que A1²=B1²=I)
Mais je n'ai pas l'impression que cela suffirait pour rendre vraie votre affirmation


Et je ne vois pas non plus très bien le rapport avec les matrices d'incidence utilisées pour les graphes, qui ne sont pas carrées, et qui en outre ont généralement deux 1 sur chaque colonne,

[minushabens]

c'est faux aussi si p=2 (donc p-1=1) et si Ma=I et Mb l'unique autre matrice de substitution. On a alors MaMb=MbMa=Mb n'est pas égal à I, il faut une autre itération pour y arriver.