Isométrie

**mehdi_128** · 31/07/2017, 19h46

Bonjour,
E désigne l'espace vectoriel R^n. Soit N une norme sur E.
u de L(E) est une N isométrie si pour tout x dans E : $\text{[math]}$
Soit Isom(N) l'ensemble des N isométries.
On note : $\text{[math]}$

1/ Montrer que u est une N isométrie si et seulement si $\text{[math]}$

Le groupe des N isométries est donc l'ensemble des endomorphismes laissant stables la N-sphère unité.

2/ Soit n=2 on note s la symétrie orthogonale par rapport à la droite D=Vec{e1-e2} où {e1,e2} est la base canonique de R^2 et r la rotation d'angle Pi/3.
Les endomorphismes s et r sont-ils des $\text{[math]}$ isométries ?

J'y arrive pas du tout, je sais pas comment partir. Je comprends pas c'est quoi l'ensemble : $\text{[math]}$ si un élément appartient à cet ensemble comment il s'écrit ?

Merci...

**gg0** · 31/07/2017, 20h37

Bonjour.

Ta norme induit une distance par d(x,y)=N(y-x). Ton $\text{[math]}$ (*) est tout simplement la sphère unité. Et comme pour tout x non nul, on a $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ et k est un réel positif (je te laisse les calculer, fais un dessin pour n=2 et la norme euclidienne) on passe facilement de l'espace à la sphère.

Bon travail personnel !

NB : prends l'habitude de regarder des cas particuliers simples.

(*) Utilise \Sigma plutôt que \sum

**mehdi_128** · 01/08/2017, 00h05

Merci j'ai compris.

Maintenant j'aimerais montrer la première inclusion :

* Si $\text{[math]}$ => l'endomorphisme u de E est une N isométrie (N(u(x))=N(x))

Je suis complètement bloqué, je vois pas où partir.

**NicoTial** · 01/08/2017, 09h13

Pour ton inclusion :
Soit $\text{[math]}$ , on a que $\text{[math]}$ .
Ainsi N(u(x))=1 et de plus on sait que N(x)=1.
Ainsi $\text{[math]}$ . Reste à considérer le reste de l'espace :
Prenons y quelconque... comment se ramener à $\text{[math]}$ ? je te laisse un petit peu réfléchir...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mehdi_128** · 01/08/2017, 11h05

Envoyé par NicoTial

Pour ton inclusion :
Soit $\text{[math]}$ , on a que $\text{[math]}$ .
Ainsi N(u(x))=1 et de plus on sait que N(x)=1.
Ainsi $\text{[math]}$ . Reste à considérer le reste de l'espace :
Prenons y quelconque... comment se ramener à $\text{[math]}$ ? je te laisse un petit peu réfléchir...

J'ai finalement fait l'autre inclusion qui m'a l'air plus simple.

* Si u appartient à ISOM(N) alors pour x appartenant à $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ donc u(x) appartient à $\text{[math]}$
On a montré : $\text{[math]}$

* ISOM(N) est un sous groupe de GL(E) donc $\text{[math]}$ appartient à ISOM(N) donc :
$\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$
Donc : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Enfin la première inclusion est démontrée : si u appartient à ISOM(N) alors $\text{[math]}$

J'ai pas trop compris ce que vous sous entendez par le reste de l'espace. J'ai l'impression que vous avez démontré l'inclusion

**NicoTial** · 01/08/2017, 11h49

Envoyé par mehdi_128

J'ai pas trop compris ce que vous sous entendez par le reste de l'espace. J'ai l'impression que vous avez démontré l'inclusion

Non, je n'ai démontré l'égalité uniquement pour les x appartenant à $\text{[math]}$ ... mais il faut montrer pour tout les autres éléments qui appartiennent à E... pour cela il faut se ramener sur la sphère... c'est assez classique comme méthode...

**mehdi_128** · 01/08/2017, 13h45

Envoyé par NicoTial

Non, je n'ai démontré l'égalité uniquement pour les x appartenant à $\text{[math]}$ ... mais il faut montrer pour tout les autres éléments qui appartiennent à E... pour cela il faut se ramener sur la sphère... c'est assez classique comme méthode...

Ah oui en effet !

Si x différent de 0 on a : $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$

Mais d'après l'hypothèse de départ : $\text{[math]}$ donc : $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Donc : u appartient à ISOM(N)

Avez-vous une idée pour la 2 ? Pour la symétrie orthogonale

**NicoTial** · 01/08/2017, 14h26

Ecris précisément à quoi est égale s (puis r) et ensuite essaye de déterminer la norme pour un x unitaire.

**mehdi_128** · 01/08/2017, 14h44

Envoyé par NicoTial

Ecris précisément à quoi est égale s (puis r) et ensuite essaye de déterminer la norme pour un x unitaire.

Il faut utiliser que les norme1 isométries sont le groupe des endomorphismes laissant stables la 1 sphère unité.

Je connais pas l'expression générale d'une symétrie orthogonale

**gg0** · 01/08/2017, 15h37

Détermine-la à partir de la définition !! C'est des choses qu'on doit savoir faire à bac+2, sans attendre des autres qu'ils le fassent pour toi.

**mehdi_128** · 01/08/2017, 16h21

Envoyé par gg0

Détermine-la à partir de la définition !! C'est des choses qu'on doit savoir faire à bac+2, sans attendre des autres qu'ils le fassent pour toi.

Je comprends rien à la définition générale d'une symétrie orthogonale : Soit F un sous-espace d'un espace vectoriel euclidien E. Alors on appelle symétrie orthogonale par rapport à F l'application qui à tout x de E qui se décompose uniquement en x=y+z avec y dans F et z dans l'orthogonal de F associe s(x)=y-z.

**NicoTial** · 01/08/2017, 16h38

Essaye de faire un dessin dans R²

**mehdi_128** · 01/08/2017, 19h59

Envoyé par NicoTial

Essaye de faire un dessin dans R²

Je l'ai fait c'est correct ? J'ai pas dessiné la rotation du carré de centre 0 d'angle 2pi/3 car pas de rapporteur et compas mais on voit que ça décale le carré.

Nom : symetrie.jpg
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**NicoTial** · 02/08/2017, 08h59

Envoyé par mehdi_128

Je l'ai fait c'est correct ? J'ai pas dessiné la rotation du carré de centre 0 d'angle 2pi/3 car pas de rapporteur et compas mais on voit que ça décale le carré.

Pièce jointe 347162

Le vecteur que tu as dessiné est -e1-e2. Il fallait que tu dessines le vecteur e1-e2, mais à part ça, le raisonnement me semble correct.

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