Somme

[prgasp77]

Voila, je veux demontrer que Um + U(m+1) + U(m+2) +...+Up =Um X (1-q^(m-p+1))/(1-q)

si quelqu'un pouvait m'aidre...
Il parait qu'il faut voir une astuce, elle est bien planquée.
-----

[Coincoin]

Salut,
Il faudrait peut-être savoir ce que sont U, m, p et q, non ?

[juan]

salut!
si S(m-1) = U(1)+...+U(m-1)
si S(p) = U(1)+...+U(p)
et si tu connais l'expression de ces deux sommes(suites géométriques),tu devrais pouvoir exprimer ta somme initiale comme différence des 2,après par le calcul ca doit être bon,non?

on a :
S(p)-S(m-1) = U(p)+U(p-1)+...+U(m+1)+U(m)
= U(1)*(q^(p)-1)/(q-1) - U(1)*(q^(m-1)-1)/(q-1)
= U(1)/(q-1)*q^(m-1)*[q^(p-(m-1))-1] après simplification
= U(m)/(q-1)*[q^(p-m+1) - 1]

CQFD

[prgasp77]

excusez moi, je croyais l'avoir mit.
(Un),n€N est une suite geometrique de raison q
Um et Up sont deux termes de la suite, m<p.

La demonstration est la bonne (malgre mon impressision), merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[prgasp77]

En revanche, je ne vois pas tres bien comment tu passe d'une etape a une autre, desolé.

[juan]

salut!

En revanche, je ne vois pas tres bien comment tu passe d'une etape a une autre, desolé

où?si tu avais donné ton niveau scolaire , j'aurais
pu répondre en conséquence...

on a :
S(p)-S(m-1) = U(p)+U(p-1)+...+U(m+1)+U(m) pour rappel

ensuite tu dois avoir dans ton cours la valeur d'une somme partielle d'une série géométrique , d'où :

S(p)-S(m-1)= U(1)*(q^(p)-1)/(q-1) - U(1)*(q^(m-1)-1)/(q-1)

on met U(1),q^(m-1) et 1/(q-1) en facteurs :

S(p)-S(m-1)= [U(1)/(q-1)*q^(m-1)]*[q^(p-(m-1))-1/q^(m-1)-1 + 1/q^(m-1)]
tu n'as qu'à redévelopper pour vérifier.

et on simplifie dans la deuxième parenthèse.
S(p)-S(m-1)= U(m)/(q-1)*[q^(p-m+1) - 1]

Clear?

[juan]

hum...c'est juste au cas où.Pour la dernière égalité:
S(p)-S(m-1)= U(m)/(q-1)*[q^(p-m+1) - 1]

j'ai utilisé : U(m) = U(1)*q^(m-1)
avec ici U(1) premier terme de la suite.
Je ne pense pas que ce soit là que tu bloquais, puisque c'est une définition de cours!
A+

[invite37968ad1]

pour prgasp77

si tu connais la somme des termes d'une suite géométrique, il n'y a pas d'astuce et tu n'as qu'à suivre le calcul de juan.

Si tu ne connais pas la somme des termes d'une suite géométrique, tu t'en sors avec une astuce (classique avec les suites géométriques)

S = U_m+U_m+1 + ...+ U_p
qS = qU_m+qU_m+1 + ...+ qU_p
qS = U_m+1+U_m+2 + ...+ U_p+1
On retrouve presque la somme S: il manque seulement le premier terme U_m et il y a un terme en trop U_p+1

Donc qS = S - U_m + U_p+1
Il suffit de résoudre cette équation pour obtenir
S = (U_m - U_p+1)/(1-q)

Comme en plus, tu sais que U_p+1= q^p+1-mU_m, tu peux factoriser et obtenir la formule que tu souhaitais.

[juan]

C'est clair qu'avec ma soluce , c'est le cours que tu ressors alors qu'avec celle de curieux, en plus t'as la "classe"! "Beaucoup plus élégant" comme aiment dire les matheux.
A+

[prgasp77]

Merci a tous.
En fait je suis en 1ere S mais on est en retard sur le programe. J'avais parie un Mars avec mon prof que je reussiré mais je n'avais pas compris la demonstration de curieux.
Je suis donc reste sur ma premiere idee (moche mais elle fonctionne).
C'est telement bete est inesthetique que vous n'avez pas dû y penser (lol).

S=U(m) + U(m+1) + ... + U(p)
S=U(m) + U(m)q + U(m)q² + ... + U(m)q^(p-m) 'ba, j'exprime U(m+i) en fonction de U(m)
S=U(m)(1 + q + q² + ... + q^(p-m) ' et factorise par U(m)
S=U(m)(1 + q + q² + ... + q^(p-m)(1-q)/(1-q) ' no coment
S=U(m)(1-q^(p-m+1) / (1-q) ' seuls les termes extremes de la somme restent.


Je vous ai mis les indication juste pour que vous voyez la stupidite de ma demonstration, grandement inspiree du resultat que j'etais sense prouver...
Merci comme meme, je vais lui ressortir a mon prof.

Je vous ai mis les

[prgasp77]

le "je vous ai mis les" est en trop.

Juste pour vous dire, je l'ai eu mon mars.

[A1]

Généralement, ce genre d'égalités est démontrable par réccurence, c plus simple, vérifie avec...



A1 Feat. E=MC²