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Aire de l'intersection de deux cercles

  1. ziggyzmo

    Date d'inscription
    mai 2006
    Messages
    3

    Aire de l'intersection de deux cercles


    Le rayon du cercle noir est 1. Quel doit être le rayon r pour que la surface bleue dans le cercle soit la même que la surface blanche ?


    MERCI!


     


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  2. Theyggdrazil

    Date d'inscription
    novembre 2003
    Localisation
    Strasbourg
    Âge
    28
    Messages
    338

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Bonjour
    "Toute connaissance accessible doit être atteinte par des voies scientifiques" (B. Russell)
     

  3. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
    Âge
    30
    Messages
    1 379

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Bonjour aussi,

    C'est un assez joli problème que tu poses là.
    Après mûre réflexion, voilà ce que je pense être vrai. Attention, il y a quelques raisonnements à la physicienne qui traînent...
    J'estime l'aire en blanc S en fonction de r le rayon du cercle.
    Evidemment, on s'attend à avoir S(0) = 0, S(2) = Pi, et on s'intéresse à r entre 0 et 2.
    Voilà l'idée : Je calcule la dérivée de S par r.
    Si j'appelle \alpha(r) la fonction qui à r associe l'angle entre le diamètre et l'un des points d'intersection du cercle, j'ai facilement que cos(\alpha(r)) = r/2.
    Après, c'est là que je sors mon pipotron, je dis que quand j'augmente de dr, moralement, (*) c'est comme regarder l'aire d'une couronne entre r et r+dr dans la zone d'angle |a| < \alpha(r). Du coup, j'en déduis que
    \frac{dS}{dr} = 2 \alpha(r)\ r
    Je vérifie après coup que S(0) = 0 et S(2) = Pi sont deux conditions compatibles, ce qui prouve que, si j'ai fait des erreurs, au moins elles s'éliminent à la fin .

    __
    rvz

    [edit : Vous avez failli avoir du latex, mais je sais pas pourquoi, il ne semble pas afficher ce que j'ai tapé, alors je vous l'ai laissé en tex, et si une bonne âme ou un modo veut essayer de le compiler, qu'il n'hésite pas ]

    * = A des termes d'ordre 2 près.
    Dernière modification par rvz ; 16/05/2006 à 20h57.
     

  4. ziggyzmo

    Date d'inscription
    mai 2006
    Messages
    3

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Pardon, c'est vrai que j'ai oublié de dire bonjour.

    Bon, merci pour la réponse mais c'est du chinois pour moi (excusez mon incompétence).
    Finalement, r vaut combien?
    Et y'aurait pas une méthode plus "géométrique"?

    Encore merci!
     

  5. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
    Âge
    30
    Messages
    1 379

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Ah oui, j'oubliais le plus important.

    Du coup, S(r) = \int_0^r 2* Arccos(x/2) x dx = Pi/2 est une équation assez compliquée, même si après un petit changement de variable, on trouve que a = alpha doit vérifiée la relation
    S(r)= A(a) = Pi + 2a cos(2a)-sin(2a) (A vérifier ?)
    Donc A(a) = Pi/2 ssi Pi/2 + 2a cos(2a) - sin(2a) = 0
    Sauf erreur, ça amène à a = 0.96, et r environ 1.14.

    __
    rvz, c'est quand même furieusement bizarre qu'il n'y ait pas de méthode simple pour déterminer cette valeur (ou de a ou de r, je ne suis pas sectaire)
     


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  6. zinia

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Paris
    Messages
    544

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Citation Envoyé par ziggyzmo
    Et y'aurait pas une méthode plus "géométrique"?
    Bonsoir,

    Oui, on peut calculer l'aire par une méthode purement géométrique :
    1 Calculer l'aire comprise entre une corde et l'arc de cercle correspondant en fonction de l'ange au centre. Il suffit de soustraire la surface d'un triangle du secteur de cercle.
    2 Ecrire que la surface broutée est la somme de deux aires ..
    On arrive bien sur à la même équation.
    NB Ce problème est très classique voir par exemple :
    la chevre de M. SEGUIN
    Dernière modification par zinia ; 16/05/2006 à 22h40.
     

  7. ziggyzmo

    Date d'inscription
    mai 2006
    Messages
    3

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Grand merci à vous deux!
     

  8. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
    Âge
    30
    Messages
    1 379

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Merci à Zinia pour ce lien. En plus, je suis content, je ne me suis même pas planté dans mes pipo
    Même si ma méthode est tres loin d'être la plus simple, elle est quand même plus pratique quand on connaît pas ses formules

    __
    rvz
     

  9. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    84
    Messages
    219

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Si on rapporte les deux cercles à un système d'axes orthonormés le premier ( celui des ordonnées ) étant l'axe de symétrie de la figure et le second (celui des abcisses) la tangente au cercle unité passant par le centre du cercle "r" on peut mettre les deux cercles en équation ; puis au moyen d'une intégrale double ( ou d'une intégrale curviligne) trouver l'aire de la " lunulle " ; il suffit alors d'écrire qu'elle est égale à pi/2 pour déterminer "r"
     

  10. rvz

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Localisation
    Versailles
    Âge
    30
    Messages
    1 379

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Certes. Seulement il est probable que cet intégrale revienne plus ou moins au calcul que j'ai fait, après moults changements de variables.

    __
    rvz
     

  11. matthias

    Date d'inscription
    février 2005
    Localisation
    IdF
    Messages
    4 439

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Le problème n'est pas le calcul de l'aire de la lunule (une intégrale de base y suffit et ne pose aucune difficulté), c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.
     

  12. manup

    Date d'inscription
    mai 2006
    Messages
    64

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Citation Envoyé par matthias
    ... c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.
    justement,...

    Bonjour,
    Pour trouver la solution, j'avais procédé exactement comme rvz car de toute façon je vois pas de méthode plus simple que
    ,
    sauf que, honte sur moi !!!, j'ai galéré pour trouver avant de penser au triangle conscrit.
    Au final, je me suis aventuré à traduire sin et cos en leurs développements en série réspectifs et résoudre le pôlynome final avec un soft.
    En me disant que la solution devait converger avec l'ordre du pôlynome (ie du développement), je trouve bien à un moment à un pouième près les mêmes résultats que rvz , (alpha = -0.95.., r=1.15..) mais comble de surprise, j'ai constaté qu'en augmentant énormément l'ordre du pôlynome (30, 40), plusieurs racines apparaissent à lors que je pense, l'on doit avoir unicité de la solution !
    Quelqu'un pourrait il me dire ce qui ne va pas avec ma méthode? (Est-ce en raison du modulo du cosinus ?)
    Et puis , quelle est la fameuse méthode numérique qu'il faut appliquer pour arriver au résultat le meilleur ? (en gros il ont fait quoi dans la publi hyperchèvre ?)

    Merci beaucoup pour vos réponses si quelqu'un peut m'éclairer (rvz j'attends tes commentaires critiques..)

    Manu
     

  13. zinia

    Date d'inscription
    décembre 2005
    Localisation
    Paris
    Messages
    544

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Bonsoir,

    L'équation a en fait une infinité de solutions, approximativement écartées de pi.
    Bien sur, elle n'ont pas de signification physique relativement au problème de la chèvre.
    En terme de méthode, chercher à trouver les zéros d'un développement limité n'est généralement pas une bonne idée, surtout aussi loin de 0.
    Avec une méthode numérique (séquente, newton, dichotomie...), on peut trouver une suite qui converge vers la solution.
    Avec newton, on a la suite
    on peut partir de u0=2 ou même plus loin, ça converge très vite.
    NB si tu prends u0=10, par exemple, ça convergera vers une autre solution de l'équation....
     

  14. manup

    Date d'inscription
    mai 2006
    Messages
    64

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Ah oui, très juste pour le DL. Quant à ces méthodes, elles m'étaient sorties de la tête.
    Je te remercie beaucoup zinia pour cette réponse très concrète comme je les aime !
     

  15. eirtemoeg

    Date d'inscription
    janvier 2006
    Âge
    84
    Messages
    219

    Re : Aire de l'intersection de deux cercles

    Citation Envoyé par matthias
    Le problème n'est pas le calcul de l'aire de la lunule (une intégrale de base y suffit et ne pose aucune difficulté), c'est que l'équation obtenue à la fin doit être résolut numériquement.
    Puisque le cercle de départ est le cercle unité, il ne peut y avoir qu'une seule solution ; tous les résultats, même s'ils sont de natures différentes, sont dépendants et doivent concourir à la détermination de "r"
    On peut obtenir ce résultat en procédant par des calculs élémentaires sur un découpage de la figure ; mais c'est moins élégant !
     


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