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Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

  1. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Je n'utilise aucun "cours". En tout cas aucun autre que ceux que j'ai mentionné plus haut. Il faut comprendre comment fonctionnent les systèmes linéaires. Essaie déjà de regarder comment fonctionne le plongement de Veronese, par exemple pourquoi est ce une immersion fermée, c'est très facile mais ça permettra de te faire la main. C'est de la géométrie classique.

    -----

     


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  2. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    D'accord, je vais essayer, tu me corriges alors.
    ça fait longtemps que je ne fais pas de systèmes linéaires. Je ne connais que des notions rudimentaires.
    Alors, un plongement de Veronese est une application : définie par :

    avec : et un fibré en droite tautologique de et .
    Il est facile de vérifier que l'ensemble des points bases est vide.
    On a aussi : .
    Pour montrer que est une immersion il suffit de réordonner les coordonnées de dans comme suit : , et donc, sur la carte : , on a : , non ? et donc : est une immersion sur , on fait la meme chose pour les autres cartes, et on recolle, et on obtient une immersion. Il est aussi claire que : est injective sur et aussi dans toutes les autres classes, par conséquent est injective, définie sur un compact donc son image est fermée, et par conséquent : est une immersion fermée, non ?
     

  3. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?
    Merci beaucoup. Je viens de lire la partie de l'ouvrage de Hartshorne portant sur Linear systems tout à l'heure.
    Tu affirmes que :
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension , c'est se donner un espace vectoriel de dimension de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.
    Comment peut-on faire explicitement le lien avec :
    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message

    A la page et , on affirme la chose suivante :
    They provide a map which for a generic choice of the 's satisfies the following properties :
    - is generically of degree onto its image, which is a hypersurface of degree :
    - is two-to-one generically over a surface in , three-to-one generically over a curve in , at most finitely many points of have more than preimages, and no points have more than preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

    Merci infiniment.
    Peux tu m'expliquer ça en détail s'il te plaît ? Comment on fait ce calcul ? ... puis puis ... ?

    Merci infiniment.
    svp un peu d'aide.
     

  4. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Ta démonstration plus haut ne prouve rien du tout, en particulier pas le caractère immersif. Y a des injections qui ne sont pas immersives !
    Je n'ai pas trop le temps d'épiloguer là, mais tu devrais examiner ce point en détail.
     

  5. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Bonjour,
    Pour montrer que le plongement de Veronese est immersif, j'applique la meme méthode qui se trouve ici : https://webusers.imj-prg.fr/~laurent...on_03_2009.pdf .
    Mais, je ne peux pas, car, je ne peux pas représenter sur une feuille un vecteur de : composantes. C'est pourquoi, j'ai simplement écrit succinctement la réponse.
     


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  6. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    A quelles conditions le morphisme donné par un système linéaire sans point base est une immersion fermée ?
     

  7. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Je ne sais pas franchement. ( Je ne suis que débutant ).
    Le Hartshorne, page : affirme que le morphisme en question est une immersion fermée lorsque le système linéaire correspondant sépare les points ainsi que les vecteurs tangents, mais je ne comprends pas bien ce que ça veut dire géométriquement.
    Merci pour l'aide.
     

  8. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Ben géométriquement est ce que tu comprend déjà comment on définit le morphisme à l'aide d'un système linéaire, si oui le critère devrait te sembler clair lui aussi : séparer les points veut dire etre injectif et séparer les tangentes veut dire être de différentielle injective et le reste est fait par le théorème de l'inversion locale ou une de ses variantes algébriques.
     

  9. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    On définit le morphisme à l'aide d'un système linéaire avec : : l'ensemble des points base de , comme suit :
    On dit que est un point base de si : .
    Supposons que a une dimension finie : , et soit : une base de .
    Alors : est une sous variété projective de .
    Soit un ouvert et une trivialisation de sur .
    On définit alors : par : avec : .
    est bien définie puisque les coordonnées homogènes ne s'annulent pas simultanément, ainsi que si on prend une autre trivialisation locale de sur notée : , avec : , alors :

    .
    D'où : est bien définie.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 18/09/2017 à 17h51.
     

  10. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.
     

  11. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.
    Je ne sais pas franchement.
    Peux tu m'aider stp ?.
     

  12. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    287

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Ben non je ne peux évidement pas t'aider pour ça. Prend un papier un crayon et fais des dessins, examine des cas simples etc... Bref ce qu'on fait pour appréhender une situation nouvelle !
     

  13. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    124

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.
    Un système linéaire est concrètement une famille de sections d'un faisceau inversible sur une variété qui définissent le lieu où le morphisme n'est pas défini. Ce n'est pas ça ? A part ça, je vois mal ce que ça peut être.
     


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