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Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

  1. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Bonjour,

    Sur le pdf suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~claire....eb/torsion.pdf , il y'a des choses que je n'ai pas compris, les voici :

    A la page , on affirme la chose suivante :
    - By property above, there exists a -cycle in such that : , pouvez vous m'expliquer pourquoi ? Je ne sais pas d'où vient le dans cette expression.

    A la page et , on affirme la chose suivante :
    They provide a map which for a generic choice of the 's satisfies the following properties :
    - is generically of degree onto its image, which is a hypersurface of degree :
    - is two-to-one generically over a surface in , three-to-one generically over a curve in , at most finitely many points of have more than preimages, and no points have more than preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

    Merci infiniment.

    -----

     


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  2. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Il y a une typo dans le papier de Voisin et Soulé. Le cycle n'est pas le cycle associé au schéma sinon la propriété énoncée serait trivialement fausse. Le cycle est associé à .
    Est ce ça qui te gène ?
     

  3. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Bonjour AncMath :
    Ce qui me gène est d'où vient le dans ?. Je ne sais pas comment ils ont fait pour dire ça.
    et la deuxième question en bas que tu ne m'as pas répondu aussi.
    Merci d'avance.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 28/08/2017 à 12h59.
     

  4. minushabens

    Date d'inscription
    juillet 2014
    Messages
    5 472

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    bon moi j'y connais que pouic mais lisant l'énoncé je vois qu'on se place dans le cas n=3 et k=2, 3,2, 6 ça va bien ensemble, non?
     

  5. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Le 6 vient du degré de l'extension résiduelle en les point génériques pardi ! D'où veux-tu que cela vienne ?
    Sais tu comment calculer l'image directe des classes de cycles ?
    Peut-être est ce cela le sens de ta question ?

    Calculer l'image directe d'un cycle n'est pas bien compliqué. On regarde son image topologique si on est entre variété variétés projectives ou completes, ce qui est le cas ici. Soit elle est de dimension strictement inférieure, alors on envoie brutalement le cycle sur 0. Soit elle est de même dimension, et la formule des dimensions nous apprend que l'extension résiduelle est finie, et même quitte a faire un petit changement de base que le morphisme est fini. Le nombre de pré-images d'un point général est alors égal au degré séparable de l'extension résiduelle. C'est ce coefficient que l'on affecte à l'image directe topologique du cycle.

    Si tu prend pour la courbe au dessus de laquelle ton morphisme est generiquement de degré 3 alors tu obtiens l'existence de ton cycle en prenant le double d'une des composantes irréductibles de la préimage de qui domine , ce qui sera le cas de toutes de toute façon.
     


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  6. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Sur quel ouvrage consulter : il y en a la pelle. Griffith-Harris ou Hartshorne me semblent bien indiqués, le traitement des systèmes linéaires et autres pinceaux est assez bien fait.

    Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension , c'est se donner un espace vectoriel de dimension de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.
    Dernière modification par AncMath ; 29/08/2017 à 14h11.
     

  7. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Bonjour AncMath :

    Merci pour ta patience. A vrai dire, je ne suis pas assez familier avec ces notions que nous utilisons ici. Je connais un peu
    de théorie, mais lorsqu'il s'agit d'appliquer ces notions à des cas concrets, je suis nul. Merci encore une fois pour ta partience.
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Calculer l'image directe d'un cycle n'est pas bien compliqué. On regarde son image topologique si on est entre variété variétés projectives ou completes, ce qui est le cas ici. Soit elle est de dimension strictement inférieure, alors on envoie brutalement le cycle sur 0. Soit elle est de même dimension, et la formule des dimensions nous apprend que l'extension résiduelle est finie, et même quitte a faire un petit changement de base que le morphisme est fini. Le nombre de pré-images d'un point général est alors égal au degré séparable de l'extension résiduelle. C'est ce coefficient que l'on affecte à l'image directe topologique du cycle.
    Oui, j'ai compris ça il me semble. J'ai appris ça dans Fulton, Intersection theory. Le théorème affirme :
    Let be a proper morphisme. For any subvariety of , the image is then a ( closed ) subvariety of . There is an induced
    imbedding of in , which is a finite field extension if has the same dimension as .
    Set : .
    where denotes the degree of the field extension.
    Define
    This extends linearly to a homomorphism : .
    This homomorphisms are functorial : if is a proper morphism form to , then , as follows from the multiplicativity of degrees
    of field extensions. In the complex case, if , is generically a covering of with sheets,
    and the push-forward agrees with the push-forward in topology.

    N'est ce pas ? Néanmoins, je n'ai pas bien saisi la suite :

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Si tu prend pour la courbe au dessus de laquelle ton morphisme est generiquement de degré 3 alors tu obtiens l'existence de ton cycle en prenant le double d'une des composantes irréductibles de la préimage de qui domine , ce qui sera le cas de toutes de toute façon.
    Dans ce cas nous devons avoir : , car : car est le nombre de préimages de . Je ne comprends pas encore bien d'où apparait dans cette histoire. Peux tu m'expliquer ça explicitement.

    Merci d'avance pour l'aide.

    PS : Merci à toi aussi minushabens.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 29/08/2017 à 15h31.
     

  8. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Si tu trouves un cycle qui s'envoie sur tu ne sais pas trouver de cycle qui s'envoie sur !?
     

  9. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Ah oui c'est vrai, je suis bête.
    Donc : . N'est ce pas ?
    Je n'ai pas compris une chose ici : https://math.stackexchange.com/quest...braic-geometry dans la longue réponse de Takumi Murayama au milieu de la page :
    Il affirme que :
    Note that satisfies : . So in cohomology.
    Alors ma question : Pourquoi : ? Comment il fait pour parvenir à ce résultat ?
    Merci infiniment.
     

  10. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message
    Alors ma question : Pourquoi : ? Comment il fait pour parvenir à ce résultat ?
    C'est la encore une typo, c'est bien sûr qu'il faut lire.
     

  11. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    D'accord, merci beaucoup.
    Il me reste à savoir comment on obtient :
    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message

    A la page et , on affirme la chose suivante :
    They provide a map which for a generic choice of the 's satisfies the following properties :
    - is generically of degree onto its image, which is a hypersurface of degree :
    - is two-to-one generically over a surface in , three-to-one generically over a curve in , at most finitely many points of have more than preimages, and no points have more than preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

    Merci infiniment.
    Tu affirmes :
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Sur quel ouvrage consulter : il y en a la pelle. Griffith-Harris ou Hartshorne me semblent bien indiqués, le traitement des systèmes linéaires et autres pinceaux est assez bien fait.
    J'ai cherché dans ces 2 ouvrages, mais, je n'ai trouvé aucun théorème qui parle de ça malheureusement.
    Merci pour votre aide.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 30/08/2017 à 13h34.
     

  12. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?
     

  13. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?
    Merci beaucoup. Je viens de lire la partie de l'ouvrage de Hartshorne portant sur Linear systems tout à l'heure.
    Tu affirmes que :
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension , c'est se donner un espace vectoriel de dimension de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.
    Comment peut-on faire explicitement le lien avec :
    Citation Envoyé par Anonyme007 Voir le message

    A la page et , on affirme la chose suivante :
    They provide a map which for a generic choice of the 's satisfies the following properties :
    - is generically of degree onto its image, which is a hypersurface of degree :
    - is two-to-one generically over a surface in , three-to-one generically over a curve in , at most finitely many points of have more than preimages, and no points have more than preimages.
    Peux tu m'expliquer ça en détail s'il te plaît ? Comment on fait ce calcul ? ... puis puis ... ?

    Merci infiniment.
    Dernière modification par Anonyme007 ; 30/08/2017 à 15h51.
     

  14. AncMath

    Date d'inscription
    avril 2017
    Messages
    413

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    En fait il suffit de comprendre que le choix de 5 sections globales de pour construitre l'application peut se factoriser en le plongement de Veronese suivit d'une projection linéaire selon un sous espace projectif.
    Regarde pour un choix générique de sous espace projectif, ce que donne un sous variété de dimension par projection selon le sous espace. Tu as une filtration de l'image dont la strate a generiquement préimages en un point général.
     

  15. Anonyme007

    Date d'inscription
    novembre 2015
    Messages
    253

    Re : Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

    Pardon, je n'ai pas compris cette partie :
    Citation Envoyé par AncMath Voir le message
    Regarde pour un choix générique de sous espace projectif, ce que donne un sous variété de dimension par projection selon le sous espace. Tu as une filtration de l'image dont la strate a generiquement préimages en un point général.
    Peux tu me diriger vers un cours portant sur ce sujet ? Quel théorème ou cours utilises tu ? : filtration , strate, génériquement , ... ? Je ne suis que débutant dans ce sujet.
    Merci infiniment.
     


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