Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

**Anonyme007** · 27/08/2017, 14h57

Bonjour,

Sur le pdf suivant : https://webusers.imj-prg.fr/~claire....eb/torsion.pdf , il y'a des choses que je n'ai pas compris, les voici :

A la page $\text{[math]}$ , on affirme la chose suivante :
- By property $\text{[math]}$ above, there exists a $\text{[math]}$ -cycle $\text{[math]}$ in $\text{[math]}$ such that : $\text{[math]}$ , pouvez vous m'expliquer pourquoi ? Je ne sais pas d'où vient le $\text{[math]}$ dans cette expression.

A la page $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on affirme la chose suivante :
They provide a map $\text{[math]}$ which for a generic choice of the $\text{[math]}$ 's satisfies the following properties :
- $\text{[math]}$ is generically of degree $\text{[math]}$ onto its image, which is a hypersurface $\text{[math]}$ of degree : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ is two-to-one generically over a surface in $\text{[math]}$ , three-to-one generically over a curve in $\text{[math]}$ , at most finitely many points of $\text{[math]}$ have more than $\text{[math]}$ preimages, and no points have more than $\text{[math]}$ [/TEX] preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

Merci infiniment.

**AncMath** · 28/08/2017, 11h39

Il y a une typo dans le papier de Voisin et Soulé. Le cycle $\text{[math]}$ n'est pas le cycle associé au schéma $\text{[math]}$ sinon la propriété énoncée serait trivialement fausse. Le cycle $\text{[math]}$ est associé à $\text{[math]}$ .
Est ce ça qui te gène ?

**Anonyme007** · 28/08/2017, 11h56

Bonjour AncMath :
Ce qui me gène est d'où vient le $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ ?. Je ne sais pas comment ils ont fait pour dire ça.

et la deuxième question en bas que tu ne m'as pas répondu aussi.

Merci d'avance.

**minushabens** · 28/08/2017, 20h18

bon moi j'y connais que pouic mais lisant l'énoncé je vois qu'on se place dans le cas n=3 et k=2, 3,2, 6 ça va bien ensemble, non?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**AncMath** · 29/08/2017, 13h04

Le 6 vient du degré de l'extension résiduelle en les point génériques pardi ! D'où veux-tu que cela vienne ?
Sais tu comment calculer l'image directe des classes de cycles ?
Peut-être est ce cela le sens de ta question ?

Calculer l'image directe d'un cycle n'est pas bien compliqué. On regarde son image topologique si on est entre variété variétés projectives ou completes, ce qui est le cas ici. Soit elle est de dimension strictement inférieure, alors on envoie brutalement le cycle sur 0. Soit elle est de même dimension, et la formule des dimensions nous apprend que l'extension résiduelle est finie, et même quitte a faire un petit changement de base que le morphisme est fini. Le nombre de pré-images d'un point général est alors égal au degré séparable de l'extension résiduelle. C'est ce coefficient que l'on affecte à l'image directe topologique du cycle.

Si tu prend pour $\text{[math]}$ la courbe au dessus de laquelle ton morphisme est generiquement de degré 3 alors tu obtiens l'existence de ton cycle $\text{[math]}$ en prenant le double d'une des composantes irréductibles de la préimage de $\text{[math]}$ qui domine $\text{[math]}$ , ce qui sera le cas de toutes de toute façon.

**AncMath** · 29/08/2017, 13h08

Sur quel ouvrage consulter : il y en a la pelle. Griffith-Harris ou Hartshorne me semblent bien indiqués, le traitement des systèmes linéaires et autres pinceaux est assez bien fait.

Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension $\text{[math]}$ , c'est se donner un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.

**Anonyme007** · 29/08/2017, 14h27

Bonjour AncMath :

Merci pour ta patience. A vrai dire, je ne suis pas assez familier avec ces notions que nous utilisons ici. Je connais un peu
de théorie, mais lorsqu'il s'agit d'appliquer ces notions à des cas concrets, je suis nul. Merci encore une fois pour ta partience.

Envoyé par AncMath

Calculer l'image directe d'un cycle n'est pas bien compliqué. On regarde son image topologique si on est entre variété variétés projectives ou completes, ce qui est le cas ici. Soit elle est de dimension strictement inférieure, alors on envoie brutalement le cycle sur 0. Soit elle est de même dimension, et la formule des dimensions nous apprend que l'extension résiduelle est finie, et même quitte a faire un petit changement de base que le morphisme est fini. Le nombre de pré-images d'un point général est alors égal au degré séparable de l'extension résiduelle. C'est ce coefficient que l'on affecte à l'image directe topologique du cycle.

Oui, j'ai compris ça il me semble. J'ai appris ça dans Fulton, Intersection theory. Le théorème affirme :
Let $\text{[math]}$ be a proper morphisme. For any subvariety $\text{[math]}$ of $\text{[math]}$ , the image $\text{[math]}$ is then a ( closed ) subvariety of $\text{[math]}$ . There is an induced
imbedding of $\text{[math]}$ in $\text{[math]}$ , which is a finite field extension if $\text{[math]}$ has the same dimension as $\text{[math]}$ .
Set : $\text{[math]}$ .
where $\text{[math]}$ denotes the degree of the field extension.
Define $\text{[math]}$
This extends linearly to a homomorphism : $\text{[math]}$ .
This homomorphisms are functorial : if $\text{[math]}$ is a proper morphism form $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ , then $\text{[math]}$ , as follows from the multiplicativity of degrees
of field extensions. In the complex case, if $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ is generically a covering of $\text{[math]}$ with $\text{[math]}$ sheets,
and the push-forward agrees with the push-forward in topology.

N'est ce pas ? Néanmoins, je n'ai pas bien saisi la suite :

Envoyé par AncMath

Si tu prend pour $\text{[math]}$ la courbe au dessus de laquelle ton morphisme est generiquement de degré 3 alors tu obtiens l'existence de ton cycle $\text{[math]}$ en prenant le double d'une des composantes irréductibles de la préimage de $\text{[math]}$ qui domine $\text{[math]}$ , ce qui sera le cas de toutes de toute façon.

Dans ce cas nous devons avoir : $\text{[math]}$ , car : $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ est le nombre de préimages de $\text{[math]}$ . Je ne comprends pas encore bien d'où apparait $\text{[math]}$ dans cette histoire. Peux tu m'expliquer ça explicitement.

Merci d'avance pour l'aide.

PS : Merci à toi aussi minushabens.

**AncMath** · 29/08/2017, 18h06

Si tu trouves un cycle qui s'envoie sur $\text{[math]}$ tu ne sais pas trouver de cycle qui s'envoie sur $\text{[math]}$ !?

**Anonyme007** · 29/08/2017, 18h19

Ah oui c'est vrai, je suis bête.

Donc : $\text{[math]}$ . N'est ce pas ?

Je n'ai pas compris une chose ici : https://math.stackexchange.com/quest...braic-geometry dans la longue réponse de Takumi Murayama au milieu de la page :
Il affirme que :
Note that $\text{[math]}$ satisfies : $\text{[math]}$ . So $\text{[math]}$ in cohomology.
Alors ma question : Pourquoi : $\text{[math]}$ ? Comment il fait pour parvenir à ce résultat ?
Merci infiniment.

**AncMath** · 30/08/2017, 10h20

Envoyé par Anonyme007

Alors ma question : Pourquoi : $\text{[math]}$ ? Comment il fait pour parvenir à ce résultat ?

C'est la encore une typo, c'est bien sûr $\text{[math]}$ qu'il faut lire.

**Anonyme007** · 30/08/2017, 12h31

D'accord, merci beaucoup.
Il me reste à savoir comment on obtient :

Envoyé par Anonyme007

A la page $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on affirme la chose suivante :
They provide a map $\text{[math]}$ which for a generic choice of the $\text{[math]}$ 's satisfies the following properties :
- $\text{[math]}$ is generically of degree $\text{[math]}$ onto its image, which is a hypersurface $\text{[math]}$ of degree : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ is two-to-one generically over a surface in $\text{[math]}$ , three-to-one generically over a curve in $\text{[math]}$ , at most finitely many points of $\text{[math]}$ have more than $\text{[math]}$ preimages, and no points have more than $\text{[math]}$ [/TEX] preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

Merci infiniment.

Tu affirmes :

Envoyé par AncMath

Sur quel ouvrage consulter : il y en a la pelle. Griffith-Harris ou Hartshorne me semblent bien indiqués, le traitement des systèmes linéaires et autres pinceaux est assez bien fait.

J'ai cherché dans ces 2 ouvrages, mais, je n'ai trouvé aucun théorème qui parle de ça malheureusement.

Merci pour votre aide.

**AncMath** · 30/08/2017, 12h40

Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?

**Anonyme007** · 30/08/2017, 14h49

Envoyé par AncMath

Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?

Merci beaucoup. Je viens de lire la partie de l'ouvrage de Hartshorne portant sur Linear systems tout à l'heure.
Tu affirmes que :

Envoyé par AncMath

Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension $\text{[math]}$ , c'est se donner un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.

Comment peut-on faire explicitement le lien avec :

Envoyé par Anonyme007

A la page $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on affirme la chose suivante :
They provide a map $\text{[math]}$ which for a generic choice of the $\text{[math]}$ 's satisfies the following properties :
- $\text{[math]}$ is generically of degree $\text{[math]}$ onto its image, which is a hypersurface $\text{[math]}$ of degree : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ is two-to-one generically over a surface in $\text{[math]}$ , three-to-one generically over a curve in $\text{[math]}$ , at most finitely many points of $\text{[math]}$ have more than $\text{[math]}$ preimages, and no points have more than $\text{[math]}$ [/TEX] preimages.

Peux tu m'expliquer ça en détail s'il te plaît ? Comment on fait ce calcul ? ... $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ ... ?

Merci infiniment.

**AncMath** · 30/08/2017, 15h22

En fait il suffit de comprendre que le choix de 5 sections globales de $\text{[math]}$ pour construitre l'application $\text{[math]}$ peut se factoriser en le plongement de Veronese suivit d'une projection linéaire selon un sous espace projectif.
Regarde pour un choix générique de sous espace projectif, ce que donne un sous variété de dimension $\text{[math]}$ par projection selon le sous espace. Tu as une filtration de l'image dont la strate $\text{[math]}$ a generiquement $\text{[math]}$ préimages en un point général.

**Anonyme007** · 30/08/2017, 15h39

Pardon, je n'ai pas compris cette partie :

Envoyé par AncMath

Regarde pour un choix générique de sous espace projectif, ce que donne un sous variété de dimension $\text{[math]}$ par projection selon le sous espace. Tu as une filtration de l'image dont la strate $\text{[math]}$ a generiquement $\text{[math]}$ préimages en un point général.

Peux tu me diriger vers un cours portant sur ce sujet ? Quel théorème ou cours utilises tu ? : filtration , strate, génériquement , ... ? Je ne suis que débutant dans ce sujet.

Merci infiniment.

**AncMath** · 30/08/2017, 15h43

Je n'utilise aucun "cours". En tout cas aucun autre que ceux que j'ai mentionné plus haut. Il faut comprendre comment fonctionnent les systèmes linéaires. Essaie déjà de regarder comment fonctionne le plongement de Veronese, par exemple pourquoi est ce une immersion fermée, c'est très facile mais ça permettra de te faire la main. C'est de la géométrie classique.

**Anonyme007** · 30/08/2017, 16h33

D'accord, je vais essayer, tu me corriges alors.

ça fait longtemps que je ne fais pas de systèmes linéaires. Je ne connais que des notions rudimentaires.

Alors, un plongement de Veronese est une application : $\text{[math]}$ définie par :
$\text{[math]}$
avec : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ un fibré en droite tautologique de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Il est facile de vérifier que l'ensemble des points bases est vide.
On a aussi : $\text{[math]}$ .
Pour montrer que $\text{[math]}$ est une immersion il suffit de réordonner les coordonnées de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ comme suit : $\text{[math]}$ , et donc, sur la carte : $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ , non ? et donc : $\text{[math]}$ est une immersion sur $\text{[math]}$ , on fait la meme chose pour les autres cartes, et on recolle, et on obtient $\text{[math]}$ une immersion. Il est aussi claire que : $\text{[math]}$ est injective sur $\text{[math]}$ et aussi dans toutes les autres classes, par conséquent $\text{[math]}$ est injective, définie sur un compact $\text{[math]}$ donc son image est fermée, et par conséquent : $\text{[math]}$ est une immersion fermée, non ?

**Anonyme007** · 01/09/2017, 16h08

Envoyé par Anonyme007

Envoyé par AncMath

Tu n'a rien trouvé sur les systèmes linéaires dans Hartshorne p.156 ou Griffith Harris p.176 ?

Merci beaucoup. Je viens de lire la partie de l'ouvrage de Hartshorne portant sur Linear systems tout à l'heure.
Tu affirmes que :

Envoyé par AncMath

Se donner un morphisme dans un espace projectif de dimension $\text{[math]}$ , c'est se donner un espace vectoriel de dimension $\text{[math]}$ de sections d'un fibrés en droite sans point base, c'est à dire sans lieu commun d'annulation. On peut lire les propriétés du morphisme sur les propriétés du sous espace en question. Les détails sont bien explicités dans les ouvrages que j'ai cité.

Comment peut-on faire explicitement le lien avec :

Envoyé par Anonyme007

A la page $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on affirme la chose suivante :
They provide a map $\text{[math]}$ which for a generic choice of the $\text{[math]}$ 's satisfies the following properties :
- $\text{[math]}$ is generically of degree $\text{[math]}$ onto its image, which is a hypersurface $\text{[math]}$ of degree : $\text{[math]}$
- $\text{[math]}$ is two-to-one generically over a surface in $\text{[math]}$ , three-to-one generically over a curve in $\text{[math]}$ , at most finitely many points of $\text{[math]}$ have more than $\text{[math]}$ preimages, and no points have more than $\text{[math]}$ [/TEX] preimages. Comment je peux savoir ça ? Quel cours ou ouvrage consulter pour apprendre ça ?

Merci infiniment.

Peux tu m'expliquer ça en détail s'il te plaît ? Comment on fait ce calcul ? ... $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ puis $\text{[math]}$ ... ?

Merci infiniment.

svp un peu d'aide.

**AncMath** · 18/09/2017, 09h07

Ta démonstration plus haut ne prouve rien du tout, en particulier pas le caractère immersif. Y a des injections qui ne sont pas immersives !
Je n'ai pas trop le temps d'épiloguer là, mais tu devrais examiner ce point en détail.

**Anonyme007** · 18/09/2017, 14h59

Bonjour,
Pour montrer que le plongement de Veronese est immersif, j'applique la meme méthode qui se trouve ici : https://webusers.imj-prg.fr/~laurent...on_03_2009.pdf .
Mais, je ne peux pas, car, je ne peux pas représenter sur une feuille un vecteur de : $\text{[math]}$ composantes. C'est pourquoi, j'ai simplement écrit succinctement la réponse.

**AncMath** · 18/09/2017, 15h06

A quelles conditions le morphisme donné par un système linéaire sans point base est une immersion fermée ?

**Anonyme007** · 18/09/2017, 16h21

Je ne sais pas franchement.

( Je ne suis que débutant ).
Le Hartshorne, page : $\text{[math]}$ affirme que le morphisme en question est une immersion fermée lorsque le système linéaire correspondant sépare les points ainsi que les vecteurs tangents, mais je ne comprends pas bien ce que ça veut dire géométriquement.
Merci pour l'aide.

**AncMath** · 18/09/2017, 17h00

Ben géométriquement est ce que tu comprend déjà comment on définit le morphisme à l'aide d'un système linéaire, si oui le critère devrait te sembler clair lui aussi : séparer les points veut dire etre injectif et séparer les tangentes veut dire être de différentielle injective et le reste est fait par le théorème de l'inversion locale ou une de ses variantes algébriques.

**Anonyme007** · 18/09/2017, 17h50

On définit le morphisme $\text{[math]}$ à l'aide d'un système linéaire $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : l'ensemble des points base de $\text{[math]}$ , comme suit :
On dit que $\text{[math]}$ est un point base de $\text{[math]}$ si $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Supposons que $\text{[math]}$ a une dimension finie : $\text{[math]}$ , et soit : $\text{[math]}$ une base de $\text{[math]}$ .
Alors : $\text{[math]}$ est une sous variété projective de $\text{[math]}$ .
Soit $\text{[math]}$ un ouvert et $\text{[math]}$ une trivialisation de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .
On définit alors : $\text{[math]}$ par : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ est bien définie puisque les coordonnées homogènes ne s'annulent pas simultanément, ainsi que si on prend une autre trivialisation locale de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ notée : $\text{[math]}$ , avec : $\text{[math]}$ , alors :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ .
D'où : $\text{[math]}$ est bien définie.

**AncMath** · 18/09/2017, 17h54

Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.

**Anonyme007** · 18/09/2017, 18h02

Envoyé par AncMath

Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.

Je ne sais pas franchement.

Peux tu m'aider stp ?.

**AncMath** · 18/09/2017, 18h07

Ben non je ne peux évidement pas t'aider pour ça. Prend un papier un crayon et fais des dessins, examine des cas simples etc... Bref ce qu'on fait pour appréhender une situation nouvelle !

**Anonyme007** · 18/09/2017, 18h56

Envoyé par AncMath

Mais géométriquement qu'est ce que ca veut dire ? Tu vois ce que ca représente un système linéaire ? Comment dessinerais tu un tel morphisme disons donné par un pinceau de courbes sur une surface.

Un système linéaire est concrètement une famille de sections $\text{[math]}$ d'un faisceau inversible $\text{[math]}$ sur une variété $\text{[math]}$ qui définissent le lieu $\text{[math]}$ où le morphisme $\text{[math]}$ n'est pas défini. Ce n'est pas ça ? A part ça, je vois mal ce que ça peut être.

**Anonyme007** · 16/02/2018, 14h06

Bonjour,

Je remonte ce fil qui date de plusieurs mois pour voir si quelqu'un a une réponse à la dernière question présenté dans ce fil.

Merci infiniment.

Contre-exemple de Kollar concernant la conjecture de Hodge

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