DL fraction de fonction

[sleinininono]

Bonjour!

je cherche à savoir comment réaliser le calcul d'un DL dans le cas d'une fraction.

J'ai regroupé quelques méthodes.

Premièrement, celle que j'ai compris consiste à calculer le DL du haut et du bas séparément puis de se ramener pour le dénominateur à 1/(1+u) en factorisant par x si nécessaire. Pouvez vous me confirmer que cela fonctionne bien?

Deuxièment, et là je n'ai pas compris... il s'agit de faire une division euclidienne de polynôme.
Ici, la fonction à développée est : (ln(1+x^2) - x^2) / (sin x).
Quelqu'un pourrait-il me dire comment faire cette division? Le livre propose de faire -x^4 + x^6/3 divisé par x - x^3/6.
Je ne comprends pas pourquoi ils ne sont pas allé plus loin dans le développement du dénominateur, ni même la méthode en elle même du calcul.


Je vous remercie vivement pour m'avoir lu, et si quelqu'un a la réponse à mes questions, voire connaît d'autres méthodes (générales je dis bien, il est parfois possible de réarranger la fraction, comme par exemple avec la quantité conjuguée), je suis preneur.

Bonne soirée!

sleinininono
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[Resartus]

Bonjour,
L'idée est de faire une division de polynômes selon les puissances croissantes.http://www.les-mathematiques.net/b/c/e/node10.php

Et si on arrête le D.L du numérateur à un certain ordre (ici c'est 2 de plus que le terme de plus bas degré : 6 pour 4), le résultat sera correct au même ordre (5 pour 3), à condition d'avoir le même ordre au denominateur (3 pour 1). Il ne servirait à rien d'aller au delà sur seulement l'un des termes.

[sleinininono]

Bonjour Resartus. Merci pour votre réponse.

J'ai pourtant des difficultés à cerner cette question. Je comprends que le résultat ne changera pas si on garde la même différence de degré mais pourquoi ici prendre un polynôme de degré 6 sur un de degré 3 ? et pourquoi ne pas prendre un polynome de degré 5 pour le dénominateur?

merci encore pour votre aide précieuse.

sleinininono

[ansset]

il suffit pour s'en rendre compte de mettre les termes de plus bas degré en facteur commun ( au numérateur et dénominateur )
( par ailleurs , il y a une petite faute non ? : n'est ce pas (x^4)/2)
donc

( le second terme tend vers 1 )
de même

comme les termes sous les parenthèses tendent vers 1, il ne reste que le rapport des termes mis en facteur commun.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Sleinininono.

Plutôt que de chercher des "trucs de calcul", il serait bon de connaître les théorèmes de base sur les calculs de DL. Ici, quel théorème te permet de trouver un DL de quotients de DL ?

Comme partout en maths, les calculs particuliers ne sont que des mises en œuvre plus ou moins subtiles de définitions et théorèmes.

Cordialement.

[sleinininono]

re bonjour gg0,

je dois avouer que je n'en ai aucune idée. Je vois le théorème qui montre son existence, en partant de f/g et en montrant que f/g = f/l * 1/(1-u). On sait alors qu'un produit admet un DL et les deux quantités admettent un DL. S'agirait-il de celui-ci?


Mais si on va plus loin dans le DL du numérateur, on ne fera que gagner en précision? si on a un terme en plus de degré x^8 par exemple, celui-ci va pouvoir s'écrire comme un polynôme de degré 7 après DES, il nous restera donc à ne prendre que les termes de degrés inférieurs ou égals à 6. Cela est faux ?

De même, en augmentant le degré du DL du dénominateur, on peut faire le même raisonnement. On aura un résultat différent.

C'est un point crucial pour moi dans la compréhension de la méthode des DL. Je ne sais pas ce qui est faux dans mon raisonnement et je ne vois pas pourquoi, en dépit de la véracité de ce que vous dites, cela contredit mon raisonnement, aussi faux soit-il.

merci encore.

sleinininono

[ansset]

célà n'apporte rien car tu ne fais que rajouter des termes négligeables....

[sleinininono]

ils seraient négligeables si ils sont de degrés supérieurs au petit o mais ici, si on prend un exemple :

x^8 / (x+x^3) donne après une DES x^5 - x^3 + 1 - x/(x+x^3). ces termes là ne sont pas négligeables pour moi...

[ansset]

prenons un exemple simple.
soit la limite de sin(x)/x en 0
tu peux te rendre compte qu'il ne sert à rien de faire un DL de sin(x) > l'ordre 1

[ansset]

ils seraient négligeables si ils sont de degrés supérieurs au petit o mais ici, si on prend un exemple :

x^8 / (x+x^3) donne après une DES x^5 - x^3 + 1 - x/(x+x^3). ces termes là ne sont pas négligeables pour moi...

lesquels ? précisément ?

[sleinininono]

x^8 / (x+x^3) donne après une DES x^5 - x^3 + 1 - x/(x+x^3)

bien sur aux coefficients près, j'aurais calculer ces termes dans le cadre du DL 6 (0). On va jusqu'à l'ordre 6 donc "x^5 - x^3 + 1" n'est pas négligeable. En ce qui concerne "- x/(x+x^3)", en zéro je vois un problème et je sais pas quoi en faire...

[ansset]

-x/(x+x^3) = -x/(x(1+x^2))
comme x^2 est négligeable devant 1 la limite vaut -x/x=-1 qui annule ton 1 ( dans l'équation précédente )
il ne te reste que les termes en x^5 et x^3

[sleinininono]

d'accord je vois. Mais alors en rajoutant ce terme dans le DL on obtient un autre résultat non? pour reprendre ta signature ansset : "y'a quelque chose qui cloche là dedans"

[Resartus]

Bonjour,
Pour augmenter la précision dans un quotient (ou d'ailleurs dans une multiplication), il faut augmenter simultanément l'ordre auquel on arrête le DL de chaque terme. On peut toujours calculer des termes supérieurs à l'ordre du facteur le moins précis, mais ils seront faux, puisqu'on aura négligé ailleurs des termes d'ordre inférieur*

Exemple tout bête : (1+x^3)/(1+x). Si je prends le DL à l'ordre 1 du dénominateur (1-x), quand je multiplie par 1+x^3, je trouve
1-x+x^3-x^4, Cela semble plus précis, mais le terme en x^3 est faux, et le terme en x^2 aussi, puisque j'avais négligé les termes en x^2 du dénominateur (le résultat exact est 1-x+x^2)


*Bien sûr, si une des expressions est exacte (un polynome), sa précision quand on le prendra en entier sera infinie, et ce ne sera plus lui qui va limiter la précision

[sleinininono]

merci beaucoup pour ces éclaircissements.
Je pensais avoir faux sur toute la ligne.
Donc un DL à l'ordre 6 dans le cas d'un produit ou d'un quotient sera vu comme un DL à l'ordre 6 pour tous les termes et ensuite on ne gardera que les termes de degré inférieur à 7 strictement durant le développement. Est ce bien cela ?

[ansset]

si j'ai saisi ce que tu veux dire, la réponse est oui.
cependant, il est souvent inutile de pousser trop loin les DL si les premiers termes donnent déjà le résultat.
dans le cas d'une fraction polynomiale , c'est très souvent le cas.

[Resartus]

Bonjour,
Juste pour être sûr qu'il n'y a pas malentendu : c'est la différence entre l'ordre du dernier terme conservé et l'ordre du premier qu'il faut comparer.
Par exemple un DL du type x^3+x^6+x^7 +o(x^7) sera bien d'ordre 7, mais sa précision n'est que d'ordre 4.

[ansset]

oui et non , si j'ai saisi le sens de ton message.
elle est au minimum de l'ordre de 4 ( pour la précision ) , mais elle peut être d'un ordre supérieur. (il y a des équations volontairement tordues )
d'autant que beaucoup de DL "sautent" des coeffs ! ( pardon pour ma manière de m'exprimer )
certains ici sont plus didactique que moi, j'essaye de faire comprendre le sens avant les équations.
On a pas tous la manière d'expliquer ou de s'exprimer, c'est pourquoi parfois les interventions diverses peuvent être complémentaires.

[gg0]

Sleinininono,

le théorème de base à connaître (et donc utiliser) est celui-ci.
Après, le reste est une simple question d'intelligence et d'habitude. Dans le cas que tu traitais, on se ramène facilement à utiliser ce théorèmes, et, suivant l'ordre final voulu, à développer à l'ordre nécessaire (le même) dans une fraction.
Autre apprentissage : division par puissances croissantes.

Bon travail personnel.