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Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

  1. #1
    Linxra

    Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Bonjour,

    Impossible d'avancer sur ce problème...
    La limite en 0 de f(x) = cos(x)cos(1/x), si elle existe, me cause bien du tort
    J'ai essayer d'abord avec deux sous suites tendant vers 0 et donnant des résultats différents de f(x) sans succès.
    J'ai ensuite essayé de linéariser le cosinus en 1/2 (cos(x + 1/x) + cos(x - 1/x)) mais aucun DL simple n'apparait...
    Encadrer la fonction par -1 et 1 semble aussi être inutile...

    Enfin bref, si vous avez une méthode permettant trouver la limite (ou la non-limite) de manière élégante je suis preneur !

    Merci d'avance,
    Linxra

    -----


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  3. #2
    Tryss2

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Ta première idée était la bonne.

    Pose et

    Ou plus simplement,
    Dernière modification par Tryss2 ; 03/09/2017 à 00h16.

  4. #3
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Justement, en posant ces suites, on obtient un problème avec le cos(x) qui devient cos(1/xn), avec xn qui tend vers 0... A moins que je me trompe ?

    Linxra

  5. #4
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    justement, que donnent les f(xn) et f(yn) proposés par Tryss ( qui sont des sous-suites ) ?
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  6. #5
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Alors,
    et... en effet il n'y a plus de problème puisque le premier tend vers 1 et le deuxième prend les valeurs -1 et 1
    Tandis que pour c'est 0 assuré... merci beaucoup

  7. #6
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    tu n'es pas clair.
    qui vers -1,1 et 0 ? ( les premiers, les seconds, etc ... )
    mais c'est globalement l'idée à suivre.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  8. #7
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    pour yn , on aurait pu prendre 1/(2k+1/2)pi, là on est sur que c'est 0
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #8
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    j'ai écrit cela car il me semble que tu as confondu cos(pi/2 +2npi) ( qui vaut 0 ) et cos (pi+2npi) (qui vaut -1).
    de fait tu peux résoudre cela d'au moins 3 manières.
    -tu ne prend que la première suite xn proposée et tu montres que f(xn) ne converge pas.
    -tu la compare avec une autre suite yn ( la bonne ) qui elle vaut tj 0
    -tu utilises bêtement au départ cos(a)cos(b)=(1/2)(cos(a+b)+cos(a-b)) qui ne converge pas.
    Dernière modification par ansset ; 03/09/2017 à 11h44.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Ah comme d'habitude j'ai du tout mélanger, merci d'avoir tout ranger ... J'ai utilisé la méthode avec les deux sous-suites ne convergeant pas vers la même limite. D'ailleurs, y-a-t-il un théorème à préciser pour utiliser cette méthode ? Ou simplement dire que les deux sous-suites ne convergent pas vers la même limite suffit ?

  11. #10
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    je ne connais pas de nom spécial, mais effectivement cela suffit.
    il suffit même de montrer qu'une seule suite ne converge pas.
    par exemple en prenant f(xn) avec xn=1/npi dont chaque sous suite ( n pair et nimpair) convergent réciproquement vers +1 et -1
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    En effet cela semble s'appeler caractérisation séquentielle des fonctions, f admet une limite en a équivaut à pour toute suite xn (appartenant à l'ensemble de départ de f) convergente vers a, (f(xn)) converge. On utilise simplement ici la contraposée. Merci de votre aide

  13. #12
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    je ne connaissais pas l'expression.
    ou bien c'est Alzheimer !!
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    J'ai retrouvé ça dans un cours donc peut-être que c'était une expression de mon prof :P

  15. #14
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    mais dans le même ordre d'idée, il y a un théorème fort utile qui dit que toute suite bornée admet au moins une sous suite convergente.
    c'est souvent très utilisé.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  16. #15
    Linxra

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Mmmh je crois que c'est le théorème de Bolzano Wierstrass, un vrai capharnaüm à démontrer.

  17. #16
    ansset

    Re : Limite en 0 de cos(x)cos(1/x)

    Citation Envoyé par Linxra Voir le message
    Mmmh je crois que c'est le théorème de Bolzano Wierstrass, un vrai capharnaüm à démontrer.
    oui, c'est ça, en fait je ne sais pas s'il est plus facile ou difficile à démontrer qu'à écrire sans écorner les noms........
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

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