a^x=a^x ln(a)

[marian7]

Bonjour!
je ne sais pas si je dois poster ça sur le forum de physique (désolé si je me suis trompée).
Est ce que quelqu'un peut m'expliquer, comment on démontre la relation a^x=a^x ln(a) s'il vous plaît ?
Merci d'avance
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[Deedee81]

Bonjour Marian,

J'ai déplacé en mathématiques.

Je suppose qu'il s'agit de

[Deedee81]

Je suppose qu'il s'agit de

Hum, alors c'est facile, car c'est x = x * ln(a), et donc on doit forcément avoir a = e et x = n'importe quoi ou a > 0 et x = 0.

Peut-être

Mais ça reste trivial.

Je te laisse préciser.

[gg0]

Bonjour Marian7.

Ne serait-ce pas plutôt la définition, pour a>0 de a^x ?

cette formule est vraie (on le prouve par récurrence) pour x entier positif, puis on peut montrer qu'elle est vraie pour les entiers négatifs, et enfin pour les nombres rationnels (quotients d'entiers). On la prend comme définition de a^x, x étant un réel quelconque, ce qui permet de retrouver, pour a>0 les formules habituelles des puissances. Et de justifier la notation e^x pour exp(x).
Toutes les preuves sont bâties sur les propriétés de exp et ln.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Deedee81]

Ne serait-ce pas plutôt la définition

Baaaah, j'aurais dû le remarquer. Bien vu

[marian7]

Merci beaucoup pour vos réponses. J'ai compris

Cordialement!!

[sleinininono]

bonjour ! il me semble que dire que les fonctions exp et ln sont des bijections réciproques sur leur intervalle respectif. Ainsi, on a

pour tout a appartenant aux positifs stricts, x appartenant aux réels:

a^x = exp ( ln ( a^x)) et donc exp ( x ln(a) )

après pour démontrer que exp et ln sont des bijections réciproques c'est autre chose.

[gg0]

Bonjour Sleinininono.

Pour pouvoir écrire ton calcul, il faut que a^x ait déjçà un sens (sinon on ne calcule pas, on écrit des égalités sans signification). Quelle est la définition, pour toi de a^x (par exemple de 2^(pi) ) ?

Cordialement.

[sleinininono]

on a différentes définitions je crois.

En prenant a réel;

D'abord dans N, a^x signifie n fois a.

Dans -N, cela signifie 1 / n fois a.

On rajoute le cas x = 0 par une convention qui dit que a ^0 = 1.

Ensuite on rajoute les fractions de puissance, ( notons x = 1/y ) qui elles sont définies comme le nombre qui élevé puissance 1/x donne a.


Pour les irrationnels j'en ai aucune idée et encore moins pour les complexes.

[gg0]

Eh bien justement, relis le message #4

[sleinininono]

oui ! je contredisais pas votre message. Ce type de démonstration est classique dans ce genre de problème, utilisation de la densité et de la topologie etc... mais je me disais que l'utilisation de la bijectivité de ln et d'exp est suffisant pour pour démontrer la formule. C'est faux?

[gg0]

Ce que tu écris au message #7, valable pour a>0 et démontrable pour x rationnel (pas réel quelconque) justifie le choix de la définition classique de a^x pour a>0 et x réel quelconque. Quant au fait que ln et exp sont des réciproques, c'est évident dans certaines définitions (on définit justement l'une comme la réciproque de l'autre, par exemple on définit ln comme une primitive particulière de 1/x, puis exp comme sa réciproque), à démontrer dans d'autres cas. Tout dépend de la façon de définir ces fonctions.
Pour ma part, comme Marian7 les utilisait sans poser de question, je les supposais bien connues.

Cordialement.