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a^x=a^x ln(a)

  1. marian7

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Messages
    8

    Smile a^x=a^x ln(a)

    Bonjour!
    je ne sais pas si je dois poster ça sur le forum de physique (désolé si je me suis trompée).
    Est ce que quelqu'un peut m'expliquer, comment on démontre la relation a^x=a^x ln(a) s'il vous plaît ?
    Merci d'avance

    -----

     


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  2. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 211

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Bonjour Marian,

    J'ai déplacé en mathématiques.

    Je suppose qu'il s'agit de
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  3. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 211

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Je suppose qu'il s'agit de
    Hum, alors c'est facile, car c'est x = x * ln(a), et donc on doit forcément avoir a = e et x = n'importe quoi ou a > 0 et x = 0.

    Peut-être

    Mais ça reste trivial.

    Je te laisse préciser.
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     

  4. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 135

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Bonjour Marian7.

    Ne serait-ce pas plutôt la définition, pour a>0 de ax ?

    cette formule est vraie (on le prouve par récurrence) pour x entier positif, puis on peut montrer qu'elle est vraie pour les entiers négatifs, et enfin pour les nombres rationnels (quotients d'entiers). On la prend comme définition de ax, x étant un réel quelconque, ce qui permet de retrouver, pour a>0 les formules habituelles des puissances. Et de justifier la notation ex pour exp(x).
    Toutes les preuves sont bâties sur les propriétés de exp et ln.

    Cordialement.
     

  5. Deedee81

    Date d'inscription
    octobre 2007
    Localisation
    Courcelles - Belgique
    Âge
    55
    Messages
    28 211

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Ne serait-ce pas plutôt la définition
    Baaaah, j'aurais dû le remarquer. Bien vu
    Tout est relatif, et cela seul est absolu. (Auguste Comte)
     


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  6. marian7

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Messages
    8

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Merci beaucoup pour vos réponses. J'ai compris

    Cordialement!!
     

  7. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    101

    Re : a^x=a^x ln(a)

    bonjour ! il me semble que dire que les fonctions exp et ln sont des bijections réciproques sur leur intervalle respectif. Ainsi, on a

    pour tout a appartenant aux positifs stricts, x appartenant aux réels:

    a^x = exp ( ln ( a^x)) et donc exp ( x ln(a) )

    après pour démontrer que exp et ln sont des bijections réciproques c'est autre chose.
     

  8. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 135

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Bonjour Sleinininono.

    Pour pouvoir écrire ton calcul, il faut que a^x ait déjçà un sens (sinon on ne calcule pas, on écrit des égalités sans signification). Quelle est la définition, pour toi de a^x (par exemple de 2^(pi) ) ?

    Cordialement.
     

  9. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    101

    Re : a^x=a^x ln(a)

    on a différentes définitions je crois.

    En prenant a réel;

    D'abord dans N, a^x signifie n fois a.

    Dans -N, cela signifie 1 / n fois a.

    On rajoute le cas x = 0 par une convention qui dit que a ^0 = 1.

    Ensuite on rajoute les fractions de puissance, ( notons x = 1/y ) qui elles sont définies comme le nombre qui élevé puissance 1/x donne a.


    Pour les irrationnels j'en ai aucune idée et encore moins pour les complexes.
     

  10. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
    Âge
    68
    Messages
    21 135

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Eh bien justement, relis le message #4
     

  11. sleinininono

    Date d'inscription
    novembre 2014
    Messages
    101

    Re : a^x=a^x ln(a)

    oui ! je contredisais pas votre message. Ce type de démonstration est classique dans ce genre de problème, utilisation de la densité et de la topologie etc... mais je me disais que l'utilisation de la bijectivité de ln et d'exp est suffisant pour pour démontrer la formule. C'est faux?
     

  12. gg0

    Date d'inscription
    avril 2012
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    21 135

    Re : a^x=a^x ln(a)

    Ce que tu écris au message #7, valable pour a>0 et démontrable pour x rationnel (pas réel quelconque) justifie le choix de la définition classique de a^x pour a>0 et x réel quelconque. Quant au fait que ln et exp sont des réciproques, c'est évident dans certaines définitions (on définit justement l'une comme la réciproque de l'autre, par exemple on définit ln comme une primitive particulière de 1/x, puis exp comme sa réciproque), à démontrer dans d'autres cas. Tout dépend de la façon de définir ces fonctions.
    Pour ma part, comme Marian7 les utilisait sans poser de question, je les supposais bien connues.

    Cordialement.
     


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