Diagonalisation ( Notion étrange )

[Anonyme007]

Bonjour à tous,

Je fais ce matin la remarque suivante à propos de la diagonalisation d'une application linéaire , et ça m'intrigue un peu cette notion. Pouvez vous me donner une interprétation théorique de ce qui suivra, ou au moins me corriger ce que j'ai en tête ?. Voici le problème :

Un endomorphisme d'espace vectoriel est une application vérifiant les deux conditions suivantes :



Concentrons nous sur la condition :

On peut la réécrire comme suit :
Si est linéaire, alors :

Autrement dit, est linéaire si : avec : définie par : vérifiant : ( i.e : est le pullback de .

Alors, est ce qu'on peut dire que :
Si est linéaire, alors : est un vecteur propre commun à la famille associée à la valeur propre puisque : pour tout : .

Est ce que cette remarque possède une interprétation profonde en théorie de diagonalisation et théorie spectrale ?

En termes de base de diagonalisation et de réduction matricielle, comment cela peut-il être réinterprété aussi ?

Merci d'avance.
-----

[Anonyme007]

Pardon, c'est bête est inutile tout ça.
L'énoncé :
Si est linéaire, alors : est un vecteur propre commun à la famille associée à la valeur propre puisque : pour tout :
signifie tout simplement que :
commute avec l'homothétie : pour tout ( i.e : avec la matrice associée à ).
Je m'excuse, je reconnais que je suis bête.