Théorème d'Apollonius pour l'ellipse

[cheezburger]

Bonjour, Voici un exercice qui me pose des difficultés :

"A tout point M d'une ellipse qui se projète orthogonalement en I sur l'axe focal, on associe l'un des deux points P de cette conique où la tangente est parallèle à OM, et sa projection J. Calculer l'aire du triangle MOP."

Donc je vois que M a comme coordonnées (acost, bsint) dans le repère centré en O (centre de l'ellipse)

le vecteur directeur de la tangente en M est (-asint, bcost)

Mais alors, je ne vois pas du tout pourquoi le couple (-asint, bcost) est aussi les coordonnées du point P. J'ai beau revoir mon cours, je dois avoir un trou de mémoire ? Est-ce si évident ?

La tangente en P doit avoir le même vecteur directeur qu'OM, c'est à dire (acost, bsint), mais je ne vois pas en quoi le fait de dériver ce couple donne les coordonnées de P ??

Où alors le point P est le point qui doit avoir des coordonnées telles, que lorsque je les dérive, je dois trouver (acost, bsint) ...

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre.
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[Resartus]

Bonjour,
Dans le repère choisi, l'ellipse a pour équation (x/a)²+(y/b)²=1.
De même qu'un point quelconque du cercle unité x²+y²=1 peut être repéré par x=cos(t) et y=sin(t), on peut repérer un point de cette ellipse par
x=acos(t),y=bsin(t).. Quand t varie de 0 a 2pi, le point parcourt l'ellipse. C'est ce qu'on appelle une courbe paramétrée.

Ensuite, le vecteur tangent à la trajectoire d'une courbe paramétrée se trouve en dérivant par rapport à t.

[Resartus]

Oups, je n'avais pas lu votre question jusqu'au bout.

Pour visualiser pourquoi le point P en question a pour coordonnées -asint bcost, on peut se ramener au cas du cercle, puis faire l'homothétie.

(on peut aussi constater que OP est parallèle à la tangente en M ; tracer le parallèlogramme)

[cheezburger]

ok ça marche. Merci Resartus pour votre réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]