Analyse Hilbertienne

**Anonyme007** · 19/09/2017, 21h41

Bonsoir,

Je me permets d'ouvrir un nouveau thread ici pour faire suite à la discussion suivante : http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html qui se trouve actuellement dans la section : Physique. Or, il se trouve que la discussion est plus orientée dans la direction des mathématiques ( Analyse Hilbertienne ) plus que la physique. Je vous demande de me laisser suivre la discussion ici dans la section : Mathématiques puisqu'il existe plusieurs bons forumeurs capable de répondre à ce sujet : Tryss, Resartus, ... etc.

On s'est arrêté dans la discussion du lien dans la méthode qu'il faut suivre afin de montrer que $\text{[math]}$ , pouvez vous m'expliquez comment on fait pour le démontrer ?

Pour infos, mon niveau en analyse laisse à désirer.

Merci d'avance.

**Seirios** · 19/09/2017, 22h44

Bonsoir,

Ton résultat ressemble au théorème de Stone-Weierstrass. Si je me rappelle bien, il y a d'ailleurs des versions plus générales de ce théorème dans le Rudin, donnant la densité de certains sous-ensembles de fonctions. Peut-être pourras-tu trouver quelque chose de ce côté.

**Tryss2** · 20/09/2017, 14h11

En fait ta famille contient celle des fonctions de Hermite-Gauss :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%...7Hermite-Gauss

**Anonyme007** · 20/09/2017, 17h20

Bonjour,

Merci Seirios et Tryss2 pour l'aide fournie.

En fait, sans aller chercher loin, j'ai trouvé ici : http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~l...rthogonaux.pdf la bonne méthode pour établir que : $\text{[math]}$ , mais, elle n'est pas assez claire pour moi.
Bref, voiçi ce que j'ai compris :
Pour établir que : $\text{[math]}$ , il faut établir que : $\text{[math]}$ , mais pourquoi, il faut établir que : $\text{[math]}$ ?
A -t-on : $\text{[math]}$ ? Où je peux trouver ça dans les cours ?

Merci pour votre éclairage.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Anonyme007** · 20/09/2017, 17h28

Envoyé par Anonyme007

A -t-on : $\text{[math]}$ ? Où je peux trouver ça dans les cours ?

Merci pour votre éclairage.

A -t-on plutôt : $\text{[math]}$ ? Où je peux trouver ça dans les cours d'Analyse Hilbertienne ?

Merci d'avaance.

**Tryss2** · 20/09/2017, 19h07

Si F est un sev de E d'un espace de Hilbert, alors on a toujours $\text{[math]}$ (en identifiant E a son dual) :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%...ace_de_Hilbert

Reste à montrer que $\text{[math]}$ . On a déjà de façon triviale $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ ). Soit donc $\text{[math]}$ et montrons qu'il est dans $\text{[math]}$ :

Soit $\text{[math]}$ , alors il existe une suite $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ . Mais par continuité du produit scalaire, $\text{[math]}$

Ainsi, $\text{[math]}$ c'est à dire, $\text{[math]}$ .

Donc on a bien $\text{[math]}$

**Anonyme007** · 20/09/2017, 19h34

Oui, voilà. Merci Tryss2.

Donc, comme je l'ai signalé plus haut, la suite de démonstration de l'égalité : $\text{[math]}$ est facile et se trouve ici : http://perso.eleves.ens-rennes.fr/~l...rthogonaux.pdf

Cordialement.

**Anonyme007** · 23/09/2017, 13h26

Bonjour,

Sur le lien suivant : http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html , deux questions consécutives n'ont pas encore été résolu vu leur difficulté peut être. Je vous demande de m'aider à les résoudre. Les voici :

$\text{[math]}$ Pouvez vous svp m'expliquer pourquoi : $\text{[math]}$ ? ça aussi on procède par récurrence ?
Pour $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$
Supposons pour : $\text{[math]}$ , que : $\text{[math]}$ , et montrons que : $\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ . Pourquoi : $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ ?

$\text{[math]}$ : Voici la suite de mon cours :
Puisque $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$ où $\text{[math]}$ sont des polynômes appelés : polynômes de Hermite. Les fonctions $\text{[math]}$ sont appelées : fonctions de Hermite.
Je ne sais pas pourquoi : $\text{[math]}$ sont définies par les polynômes de Hermite. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci infiniment pour votre aide.

**Tryss2** · 23/09/2017, 14h25

Tu peux donner une expression compréhensible de A* par les gens qui n'ont jamais fait de physique quantique ?

**Anonyme007** · 23/09/2017, 14h55

Bonjour Tryss2 :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscill...ique_quantique
Moi aussi, je ne maîtrise pas bien les notions de la physique quantique.

azizovsky · 23/09/2017, 15h23

Bonjour, c'est une question qui a un rapport ave d'analyse complexe, car dans l'équation de Schrödinger après que le coefficient de d²/dx est l'unité, on trouve que par exemple a=2mE/h² est un point singulier irrégulier à l'infini , on passe par une sorte de 'transformation homographique' $\text{[math]}$ avec des conditions sur le coefficient de u(x) on trouve $\text{[math]}$ , on remet tous dans l'équation différentielle de Schrödinger , on trouve l'équation différentielle que doit vérifier $\text{[math]}$ , on suppose que la solution est une série entière, après quelque condition sur les coefficients, on tombe sur des polynômes qui doit vérifier une certaine 'équation différentielle, c'est les polynôme d'Hermite .(même pour écrire ,c'est essoufflant

).

**Anonyme007** · 23/09/2017, 15h39

Je n'ai pas compris azizovsky.

Peux tu fournir plus d'explications sur cette méthode que tu viens de présenter ? Je ne suis pas familier avec ce langage de méca quantique.

D'où apparaît la formule $\text{[math]}$ azizovsky ? C'est quoi '' $\text{[math]}$ '' ?
Merci.

**Tryss2** · 23/09/2017, 16h08

Anonyme007 : c'est bien gentil, mais c'est quoi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme opérateurs?

azizovsky · 23/09/2017, 16h16

Bonjour, j'ai dit que le coefficient de d²/x² est un càd: d²./dx²+(a-b).=0, regarde ce 'qu'advient' l'équation de Schrödinger.
la méthode est une application dans un cours d'analyse complexe ....à la 577 page

azizovsky · 23/09/2017, 16h53

le cours de V.Smirnov, tome III, 2ème partie.

azizovsky · 23/09/2017, 17h04

il y'a aussi le 'cours' de I.Pétrovsky, mais je me rappelle pas où

.

azizovsky · 23/09/2017, 21h27

les fonctions d'Hermite sont aussi fonctions propres de l'opérateur de la transformée de Fourier $\text{[math]}$ de valeurs propres $\text{[math]}$ , c'est ça la beauté des maths....

**Anonyme007** · 23/09/2017, 22h41

Bonsoir :

Pardon pour le retard :

Tryss2 :

Envoyé par Tryss2

Anonyme007 : c'est bien gentil, mais c'est quoi $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ comme opérateurs?

D'après wiki : https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscill...ique_quantique :
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ : l'opérateur identité ( i.e : $\text{[math]}$ ).

Envoyé par azizovsky

le cours de V.Smirnov, tome III, 2ème partie.

azizovsky :
Merci pour le nom de référence que tu soulignes, néanmoins, je ne peux y avoir accès parce que tout simplement, je n'ai pas ce livre sous la main, et je ne peux pas l'avoir chez moi.

**Tryss2** · 24/09/2017, 03h16

Ok. Tu es sur que ça n'est pas plutôt $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ . Si c'est le cas, c'est simple, il suffit de l'écrire en choisissant une expression appropriée des polynômes d'Hermite :

$\text{[math]}$

Montrons que $\text{[math]}$

C'est vrai pour n = 0

Supposons que c'est vrai pour n, et montrons que c'est vérifié pour n+1 :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

cqfd

**Anonyme007** · 24/09/2017, 12h32

Bonjour,

Ah oui, d'accord.

Merci Tryss2 pour l'aide, mais avant il faut montrer : $\text{[math]}$ , ce qu'on a pas encore fait. Ici : http://forums.futura-sciences.com/ph...quantique.html , j'ai demandé de l'établir, mais personne n'a pu le faire. est ce difficile ?
On a décidé de l'établir par récurrence :
Voici comment :
Pour $\text{[math]}$ , on a : $\text{[math]}$
Supposons pour : $\text{[math]}$ , que : $\text{[math]}$ , et montrons que : $\text{[math]}$
On a : $\text{[math]}$ . Pourquoi : $\text{[math]}$ lorsque : $\text{[math]}$ ?

Merci d'avance.

**Tryss2** · 24/09/2017, 13h43

Mais c'est ce que je viens de faire... J'ai même fait mieux, j'ai montré directement que $\text{[math]}$ , qui appartient bien évidement à $\text{[math]}$ .

Mais si tu veux montrer que A* envoie $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ , c'est évident aussi :

$\text{[math]}$

**Anonyme007** · 25/09/2017, 19h19

Merci beaucoup Tryss2.

Voici la suite du cours :
Calculer : $\text{[math]}$ et vérifie que : $\text{[math]}$ est un système orthonormé non normalisé de $\text{[math]}$ .
Pouvez vous m'aider pour cette question ? Quel produit scalaire associé à $\text{[math]}$ faut-il utiliser ? :
$\text{[math]}$ ou bien : $\text{[math]}$ avec : $\text{[math]}$ une densité de mesure sur $\text{[math]}$ ? Pourquoi ?
Merci d'avance.

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