Théorie spectrale des opérateurs de Schrodinger : Cas de l'oscilateur quantique

[Anonyme007]

Bonjour à tous :

Je suis entrain de m'initier à la théorie spéctrale des opérateurs de Schrodinger, et il y'a toute une section du cours que je n'ai pas compris. Je vous la soumets immédiatement :

======================

The classical ( - dimentional ) oscilator is a particle with one degree of freedom which moves in the potential field of the form :
.
The classical energy is of the form :
where is the mass of the particle, and : is its momentum.
The space of states of the quantum analogue is . The opertors of coordinate and momentum were defined above, and the quantum hamiltonian is a self - adjoint operator generated by the expression :
For the sake of simplicity we set : . Then :
Let be a linear subspace of ( not closed ) thats consists of all functions of the form : where is a polynomial.
is dense in
Now, let's us introduce the so-called operators of annihilation and birth : and
In fact, one can show that is the adjoint operator to definded on . However, we dont use this fact. So, one can use this operator as a single symbol. These operators, as well as , and , are well-defined on the space and maps into itself. As consequence, on the space , products and commutators of all these operators are also well-defined.
We have :
-
-
-
-

=======================

Je m’arrête donc ici dans un premier temps, et je laisse la suite après avoir déchiffrer ce petit bout de textes avec vous. On commence :
Mes questions sont :
- est ce que le choix de s'est fait arbitrairement ?
- Comment obtient-on que : ?
- Pourquoi est dense dans ?
- Commnt obtient-on les formules :
- -
- -
- -
- -
- Pourquoi les opérateurs et , ainsi que , et , sont bien définis sur et envoient dans lui meme ?

Merci infiniment.
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Les relations de commutation sont obtenues en remplaçant A et A* par leurs définitions en fonction de x et p_x et en utilisant la relation de commutation bien connue entre les deux derniers.

L'expression de H vient de l'équation de Schrödinger (version indépendante du temps). Je ne vois pas ce qui vous pose problème. On remplace l'opérateur p_x par sa définition.

Le choix de L^2(R) semble raisonnable, c'est l'espace des fonctions de carré intégrable. J'imagine que bien que cela na soit pas précisé il s'agit de fonctions à valeur dans C.

Pour la densité, cela veut dire que toute fonction de L^2(R) peut être approchée aussi près que l'on veut par une suite de fonctions de la forme de celles de H~. La démonstration rigoureuse est plus du ressort des mathématiciens que des physiciens. Ça ressemble au théorème de Stone-Weiestrass, vous pouvez vous inspirer de sa démonstration pour voir si ça mène quelque part...

[Anonyme007]

Bonjour albanxiii :

Merci pour l'aide.
Pour les relations de commutation, on a :



On a :

On a :

Par conséquent :
Montrons que :
en effet :
On a : , alors : , ( J'ai trouvé cette formule dans wikipedia ici : https://en.wikipedia.org/wiki/Creati...tion_operators , malheureusement, j'ignore son originie et d'où ça vient ), et donc :


Il y'a une erreur de signe dans ce résultat. Savez vous où elle est cette erreur ? ( Merci. )
Par conséquent :
On a :

On a :

Voilà pour les relations de commutation.
D'autre part : .
Je vois mal pourquoi devient : .
Par quelle formule faut-il remplacer pour avoir : ?
Je suis désolé de vous poser des questions un peu bebete, vue que mon domaine de spécialité est la géométrie algébrique, donc, je ne suis spécialisé ni en physique, ni en analyse mathématique.

Merci d'avance.

[julien_4230]

Bonjour,
Pour la densité, je vous suggere d'utiliser que l'ensemble forme une base de Hilbert de (En fait, cette formulation n'est pas exacte. Voir ici pour plus de details - http://forums.futura-sciences.com/ma...bertienne.html).

Pour l'expression du hamiltonien, utilisez



pour que vous obteniez l'expression voulue.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anonyme007]

Merci beaucoup julien_4230 pour ces précisions.
Oui, la solution du problème se trouve ici : http://forums.futura-sciences.com/ma...bertienne.html
Maintenant pour la suite de mon cours, on me demande ce qui suit :
Soit : un vecteur propre de , ayant pour valeur propre correspondante tel que .
Montrer que : est un vecteur propre de ayant pour valeur propre .
Voici ce que je fais pour cette question :
On a, par hypothèse : et .
On a : . Je n'arrive pas ça avancer.
On a : et .
Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

[julien_4230]

C'est assez clair si vous utilisez
H = A*A+1/2Id, puis
H = AA*-1/2Id, en partant effectivement de
HA* psi = ...

[Anonyme007]

Merci julien_4230.

Alors :

Voilà pour ce point.

On passe maintenant à la suite du cours :
Soit .
On doit montrer que : .
On a :


.
Par conséquent :
D'où : est un vecteur propre de de valeur propre correspondante : .
Ensuite, il est écrit dans mon cours ce qui suit :
On définit par : .
D'où : .
Pourquoi : ?
On nous demande de montrer que : . Voiçi comment je procède :


Je vois mal comment poursuivre le calcul. Pouvez vous m'aider svp ?

Merci d'avance.

[jacknicklaus]

par exemple par récurrence.
propriété ok pour k=0
tu supposes pour un k, et tu utilise le résultat précédent
en gros :
H Psi (k+1) = H rac2 A* Psi(k) = rac2 (k + 1/2 + 1) A* Psi(k) = (k+1+1/2) Psi(k+1) cqfd.

[Anonyme007]

Merci beaucoup jacknicklaus pour l'aide.

Pouvez vous svp m'expliquer pourquoi : ? ça aussi on procède par récurrence ?
Pour , on a :
Supposons pour : , que : , et montrons que :
On a : . Pourquoi : lorsque : ?

Merci infiniment.

[Anonyme007]

Voici la suite de mon cours :
Puisque , on a : où sont des polynômes appelés : polynômes de Hermite. Les fonctions sont appelées : fonctions de Hermite.
Je ne sais pas pourquoi : sont définies par les polynômes de Hermite. Pouvez vous m'expliquer pourquoi ?

Merci d'avance.

[Anonyme007]

Bonjour Tryss2 :
et
Voir ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Oscill...ique_quantique