rapport de nombres, de constantes et de suites géométriques

[Matrix13]

Bonsoir à tous, voici ma question est ce que c est connu que chaque nombre entier est "rattaché " à une suite géométrique et donc à une constante mathématique ? la seule chose que j'ai trouvé en 3 ou 4 ans sur le net est sur le nombre premier 89 qui est rattaché a la suite de Fibonacci et de Lucas ainsi qu'à la constante du nombre d'or ,voir içi sur le site :http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgv....htm#somration Ce que je ne comprends pas c'est qu il à l'air "étonné de voir ses sommes tendre vers des nombres rationnels alors que pour chaque nombre en prenant la suite géométrique qui lui est rattaché et en additionnant chaque terme en décalant chaque nombre d'un cran vers la droite on retombe sur un nombre rationnel "périodique". Si tout cela est connu pourriez vous m'indiquer un lien, merci d'avance
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[Resartus]

Bonjour,

Rien ne prouve qu'une série infinie de rationnels (même en les exprimant comme somme de suites géométriques *) tende elle-même vers un rationnel. On peut même dire que c'est infiniment peu probable, compte tenu qu'il y a infiniment plus de nombres réels que de rationnels)

Pour que cela converge vers un rationnel, il faut des conditions très particulières sur ces suites, ce qui est le cas de celles de Fibonacci et Lucas...




*Toute somme de suite géométrique de premier terme U0 et raison r<1 rationnels tend vers un rationnel qui vaut U0/(1-r) et réciproquement, il existe une infinité de suites géométriques rationnelles dont la somme tend vers tout rationnel (il suffit de choisir un r, et le U0 s'en déduit)

[eudea-panjclinne]

voici ma question est ce que c est connu que chaque nombre entier est "rattaché " à une suite géométrique et donc à une constante mathématique ?

Essayer de préciser votre question car de la façon dont elle est formulée on peut tout imaginer et "rattacher" n'importe quel nombre à n'importe quoi. L'exemple que vous citez est une jolie propriété de la suite de Fibonacci mais on peut en trouver une infinité de semblables.

[Matrix13]

bonjour, tout d'abord merci à Resartus ainsi qu'à eudea-panjclinne d'avoir répondu, je vais donné un autre exemple car mes explications risque d'être chaotique, prenons une autre division 100/79= 1,2658227848101265822784810126 582... ce resultat est lié à la proportion d'argent sqrt2 +1 ainsi qu'a la suite des nombres de Pell soit: 0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2 378,5741,... en additionnant chaque terme en décalant d'un cran vers la droite nous trouverons le même résultat que sur la division 100/79.
Désolé par avance si tout celà est connu mais j'ai de vrais lacunes en maths.

[A voir en vidéo sur Futura]

[FLBP]

Bonjour,

Tous les nombres sont des constantes mathématiques ... donc oui.
Par exemple, on peut décomposer chaque dans en une série géométrique (attention : série != suite) :



Cordialement.

[Resartus]

Bonjour,
Ok.
La méthode utilisée consiste à additionner les Un*q^-n, où les Un sont les nombres successifs d'une suite particulière et q un rationnel(ici 10, mais cela marche avec n'importe quelle valeur rationnelle)

On se rend compte que les suites que vous avez citées sont associées au développement en fraction continue d'une expression contenant une racine d'entier (racine(5) pour fibonacci, racine(2) pour votre nombre, etc.)

On démontre assez facilement que les nombres de la fraction continue présentent une périodicité à partir d'un certain rang
Par exemple, pour le nombre d'or, c'est 1,1,1,1,1...
Pour racine(2)+1 cela vaut 2,2, 2, 2,2...
Mais on peut prendre des expressions plus compliquées, du moment qu'il n'y a qu'une racine.
Par exemple pour racine(13) cela vaut 3,1,1,1,1,6 puis 1,1,1,1,6 se répète..

On en déduit que la somme en question est somme d'un nombre fini de séries géométriques rationnelles, et est donc rationnelle

[Resartus]

Rebonjour,

"On démontre assez facilement que les nombres de la fraction continue présentent une périodicité à partir d'un certain rang"

Euh, peut-être pas si facilement....

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fracti...el_quadratique

[Matrix13]

Re:bonjour,
Merci à FLBP ainsi qu'à Resartus, comme je le disais plus haut mon niveau est catastrophique donc il va me falloir plusieurs jours pour essayer de comprendre toute la page du lien, mais ce que je voudrais savoir surtout c'est au niveau du "rapport qu'il y a entre la somme de ses suites géométriques (je reprécise que l'addition ce fait en les décalant d'un rang vers la droite) et des divisions par un nombre. Y'a t'il des "tableaux" ou je puisse voir toutes ses suites et leurs rapports avec une division? je vais donner un exemple d'une autre suite possible avec le nombre 89
0 , 1, 0, 11, 0, 121, 0, 1331, 0, 14641, 0, 161051, 0, 1771561,0 ... la constante de cette suite est sqrt11 et donne aussi le résultat de 100/89, j'espère avoir été assez clair, car dans le langage mathématique j'ai l'impression de parler avec la novlangue (livre 1984) merci d'avance.

[eudea-panjclinne]

Resartus je n'ai pas bien compris où interviennent ici les fractions continues.
Est-ce à ce calcul, que je détaille ici, que tu avais pensé ?



je suppose que cela converge absolument (j'ai pas trop cherché)
En utilisant la suite générant les nombres de Pell, u(0)=0 et u(1)=1, et en travaillant terme à terme on trouve que



d'où V=10/79.

[Matrix13]

en lisant à partir du zéro c'est bien 10/79 et 10/89 petite erreur juste que j'ai l'habitude de lire en partant du 1 mais pour les explications eudea-panjclinne je vais laisser faire Resartus car je risque de ne pas reussir à t'expliquer ma façon de faire, je n'ai pas les mots du langage mathématique et je travaille à l'envers je trouve les résultats ensuite j'essaie de comprendre les questions

[Resartus]

Bonjour,

On part de loin en effet. Comme vous citiez Fibonacci et Pell, et critiquiez au passage l'excellent site de Gérard Villemin, j'avais supposé un niveau mathématique supérieur.

Votre suite est très simple, c'est une suite géométrique (une fois retirés les zero), ce sont des nombres de la forme (11)^k.
Multipliés par les (1/10)2k à chaque fois (c'est ce qu'on fait quand on "décale"), cela donne une autre suite géométrique de raison 11/100.

Et je répète ( et FLBP l'a dit aussi) que les suites géométriques sont très simples à additionner (c'est au programme de 1ere).
la vous trouvez 1/(1-11/1OO) soit 100/89.Il n'y a aucune magie ou numérologie là dedans

L'explication pour la suite de fibonacci est un peu plus compliquée. Bon courage...

[Resartus]

Bonjour,
@eudea. Oui en effet bien plus simple comme cela. Il y a équivalence entre le fait que le nombre à approximer est quadratique, et le fait que les fractions continues qui l'approximent peuvent être fournies par une récurrence à deux prédécesseurs type fibonacci.
Mon recours à la périodicité de la fraction continue tenait vraiment du marteau pilon...

[eudea-panjclinne]

je risque de ne pas reussir à t'expliquer ma façon de faire, je n'ai pas les mots du langage mathématique et je travaille à l'envers je trouve les résultats ensuite j'essaie de comprendre les questions

Ce serait pourtant intéressant, l'histoire regorge de propriétés mathématiques énoncés on ne sait trop comment. Disons que les gens de culture mathématiques ne trouvent pas facilement comment elles ont été énoncés. Le cas de S. Ramanujan est assez typique à cet égard.

[Matrix13]

Bonsoir à tous, merci encore pour vos réponses et comme disait Resartus oui on part de loin voir très loin niveau collège pour ma part ensuite je ne critiquais pas M Gérard Villemin juste que j'étais étonné de sa citation :"Quel est le phénomène qui pousse ces sommes à tendre vers des nombres rationnels lorsqu'on va jusqu'à l'infini ? On ne sait pas encore!" j'ai surement mal compris son questionnement. @ Resartus je voudrais juste éclaircir un point au niveau des additions de suites on parle bien de cette façon qui donne le résultat d'une division. cordialement

[Matrix13]

bien sur il faut le faire au moins jusqu'à plus de 50 termes pour avoir les 44 décimales exact

[Matrix13]

@ eudea panjclinne je veux bien essayer un exercice de style surement evasif voir chaotique, je vais vous expliquer comment je faisais avant car maintenant j'ai beaucoup avancé et j'ai l'ordre de chaque nombre. Je travaille principalement des premiers donc P ensuite je "fabrique" la 1ère suite avec comme 1er terme U1=1 et U2 = U1*10 Mod P et ainsi de suite je m'arrête maximum au terme P-1 car nous savons que le cycle de l'inverse d'un nombre premier est de P-1 (enfin pour ma part ça m'a pris quelques temps avant de le découvrir), exemple avec un nombre de période de cycle maximale: 79-1= 78 décimales ou comme 89-1=88 décimales sauf que celui ci n'est pas un premier long et sa période est de 2*44 une liée à la suite de Fibonacci et l'autre à celle de Lucas comme vu plus haut. Ensuite je cherchais la ligne 1 0 au lieu du 1 10 de départ car c'est cette deuxième (1 0)qui permet de créer le tableur au niveau du sens de la ligne cela crée des suites algébriques de raison q, où q est =à un terme de la suite différent pour chaque colonne, après je cherchais la constante C mais je me suis vite confronté à des suites qui étaient un coup positive un coup négative donc je n'arrivais pas à calculer la constante car je divisais un terme par le précédent pour trouver ses constantes après j'ai trouvé une formule qui m'a tout débloqué enfin j'oublie de dire que j'avais compris comment ses suites fonctionnaient et n'étaient pas seulement Un=Un(-2)+Un(-1) en fait c'était U=yUn(-1)+ou- xUn(-2) donc cela m'a donné comme formule pour la constante (y+sqrt(y^2+ou-4x))/2 et j'arrivais enfin à calculer toutes les constantes. Ensuite je cherche la valeur de 1/c de C^2, C^3 pour voir toutes les propriétés liés au nombre premier P que je travaille. Ce que je trouve de fascinant c'est que C - l'inverse de C est par moment un nombre entier (suivant quel nombre on travaille) et aussi le fait que C^2 = C+n (pareil celà depend des nombres) il y a encore pleins de choses à dire mais je n'aurais pas les termes pour les expliquer correctement, surement que tout celà est connu depuis longtemps mais pour moi qui est autodidacte celà me passionne ça m'a permis de pouvoir résoudre des équations de second degré voir plus, de découvrir le petit théorème de fermat malgré que c'était le 2ème que je découvrais car j'avais une autre méthode mais qui faisait intervenir un nombre plus gros que 2 en rapport avec le nombre que je travaillait mais il y avait moins de pseudo premiers avec ma 1ère méthode mais il aurai fallu que je connaisse l'arithmétique modulaire pour pouvoir pousser tout ça plus loin, tout celà sans aucun bagage technique en math juste en observant les chiffres et comprendre leur logique de fonctionnement. Je vais m'arrêter là car tellement à dire encore. Cordialement

[Matrix13]

Bonsoir j'avais oublié de préciser que maintenant je me sers juste de x et y pour trouver les suites ça va beaucoup plus vite que ma 1ère méthode archaïque, autre question au sujet de la 1ère méthode qui consiste à trouver les placements des dividendes (ou le reste de modulo suivant comment vous les appelez) ainsi que les décimales de la division, je cherche un programme ou autres sur lequel je pourrais travailler de grands nombres de 50 ou 100 chiffres merci d'avance.

[eudea-panjclinne]

Joli travail d'amateur passionné. Je ne peux que vous encourager à poursuivre dans cette voie d'une découverte très platonicienne et autodidactique des mathématiques. L'arithmétique permet de trouver des propriétés "amusantes" et inattendues des nombres parce que elle ne nécessite pas en premier abord des outils compliqués pour obtenir des résultats curieux. Elle est le terrain idéal de récréations mathématiques (*), pour utiliser une dénomination très en vogue au 19e siècles pour qualifier des problèmes que l'on pouvait résoudre avec un faible bagage théorique. J'ai aperçu dans vos explications que vous parliez du théorème de Fermat, c'est très intéressant pour une ouverture vers des choses plus compliquées. Il vous faudra alors vous former à des méthodes plus officielles ou scolaires, ce qui vous permettra d'échanger plus facilement mais ce sera pour plus tard si vous le voulez.

(*) Le mot est à double sens récréation = amusement, récréation = re-création, ils étaient subtils au 19e. Aujourd'hui, le mot mathématique est souvent synonyme de douleur, d'obligation... mais je m'égare !

[Matrix13]

Bonjour,
@ eudea-panjclinne mon deuxième travail à été par accident il y à 4 ans , j'étais obsédé par les nombres premiers et la suite de Fibonacci, j'habitais à l'étranger et conversais sur skype avec un ami qui me conseillais d'arrêter tous ses chiffres car je passais trop de temps dessus au détriment du reste, chose que je lui avait promis ce soir là mais au moment d'aller me coucher j'ai eu un flash avec la suite de fibonacci au sujet des diviseurs propres et impropres (termes que je ne connaissais pas bien sur ) j'ai fini par l'envoyer un à mathématicien qui travaillait sur la suite de Fibonacci et à mon grand étonnement il me dit que c'était déjà connu que c'était le théorème de Carmichael qui avait été fait un siècle plus tôt. Par la suite je voulais absolument trouver tous ses premiers d'une autre manière, j'ai passé beaucoup de temps à réfléchir à cela, pour finir par faire un algorithme (1ère étape sur le papier car incapable de le taper correctement) il a deux ans un ami m'a mis en relation avec un informaticien à qui j'ai tenté d'expliquer, je me servais seulement des nombres terminant par 1,3,7 et 9 donc seulement 40% des nombres (mais on pouvait seulement ce servir de 10%). Dès qu il a fini de l'écrire il m'a dit que l'on était confronté à des problèmes de mémoires que ça consommait beaucoup car naivement je voulais tous les stocker et je ne voulais pas regarder comment faisait les mathématiciens pour ne pas être influencé et refaire la même chose qu'eux, il m'a demandé d'y réfléchir, deux jours plus tard je lui dit que j'avais une solution en evitant d'éliminer ce que j'appelle les doublons (ex 3 6 ... 21 ; 7, 14 21) comme le 21, celà évitait de faire plusieurs fois le même travail dans l'élimination des non premiers,mais très vite on à été confronté encore au problème de mémoire. ensuite j'ai regardé les programmes des recherches des premiers et vu qu'il n'en cherchait qu'un seul (avec le crible d'Eratosthène)et non tous ça enlevait une partie du problème de mémoire tampon, l'informaticien habite loin de chez moi donc on se voit que très rarement, on s'est vu il y a deux semaines et j'attend qu il retape l'algo pour pouvoir le tester avec seulement 10% des nombres et n'en chercher qu'un, je lui en est expliqué un autre sur la factorisation, maintenant j'attend qu'il les fasse pour voir ce qu il faut améliorer, j'en suis plus ou moins là. En tout cas c'est passionnant mais comme toute passion ça prend souvent le dessus sur le reste. Merci pour les encouragements et oui je sais qu'il faudrait que je me forme à des méthodes plus officielles pour éviter de tourner en rond. Bon week end à tous

[eudea-panjclinne]

j'ai fini par l'envoyer un à mathématicien qui travaillait sur la suite de Fibonacci et à mon grand étonnement il me dit que c'était déjà connu que c'était le théorème de Carmichael qui avait été fait un siècle plus tôt.

Deux voies s'offrent à vous qui êtes passionné par les mathématiques.
1) Soit cultiver et développer seul votre passion en mathématicien amateur. C'est un espace de liberté et ... de solitude qui s'offre à vous.
2) Soit cultiver et développer votre passion mais, en plus, en essayant de communiquer avec d'autres la-dessus. Dans ce cas il vous faudra vous former à des méthodes officielles afin de pouvoir vous faire comprendre de mathématiciens classiques et, surtout, de pouvoir vous tenir au courant de ce qui a déjà été fait dans le domaine qui vous plait. Ceci afin de ne pas avoir à réinventer la roue, ce que vous avez fait avec le théorème de Carmichael.