Un tétraèdre qui pose problème.

[Lutyx]

Bonjour à tous, sur ma planche de TD j'ai un exercice de base qui me pose des problèmes.

Soient A, B, C et D quatre points de l'espaces.

J'ai du montrer que les vecteurs AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0

Pour ça j'ai fais :

AB.CD + (AB+BC).DB + (AB.BD).BC

<=> AB.(CD.DB.BC) + BC.DB + BC.BD

Or CD + DB + BC = 0 et BD.BC = -DB.BC = -BC.DB

<=> AB.CD+AC.DB.AD.BC = 0

CQFD.

La deuxième question est : En déduire que si, dans un tétraèdre, deux paires d'arêtes opposées sont formées d'arêtes orthogonales, alors il en est de même pour la 3ème paire. Et là je bloque, alors est ce que c'est peut-être parce que je ne comprend pas la question, c'est possible.

Merci de votre aide
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[Resartus]

Bonjour,
Des vecteurs orthogonaux ont un produit scalaire nul, et réciproquement, deux vecteurs non nuls dont le produit scalaire est nul sont orthogonaux.
Il ne doit pas être trop difficile de conclure, à partir de la formule que vous avez démontrée...

[Lutyx]

Bonjour, merci de votre réponse

Après avoir fait un petit dessin je pense qu'en réalité je ne comprend pas le terme "deux paires d'arêtes opposées" Pourquoi deux paires ?

[Tryss2]

Dans un tétraèdre, tu peux regrouper les arêtes opposées par paires.



Ici les arrêtes bleues (deux arêtes, donc une paire d’arêtes), rouges, et vertes.

On te demande de montrer que si les arêtes bleues sont orthogonales (première paire), et que les arêtes rouges sont orthogonales (deuxième paire), alors les arêtes vertes sont orthogonales (la troisième paire)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lutyx]

Bonjour ! Tout s'éclair, je vous tiens au courant pour la sukte de mes recherches, effectivement je me représentais mal l'histoire d'arrête !

Cordialement

[Lutyx]

Bonjour, donc j'ai continuer un peu mes recherches et effectivement d'après ma question une la somme des produits scalaires est égale à zéro.


AB.CD représente la paire d'arêtes rouges.
AC.DB représente la paires d'arêtes bleues.
AD.BC représente la paires d'arête vertes.

Et je sais que la somme de ces produits scalaires est égale à zéro... Par ailleurs je ne vois vraiment pas comment démontrer ma question je pense avoir une piste.


Si AC.DB = 0 et AB.CD = 0 alors AD.BC= 0 ?


Par ailleurs Tryss, quel logiciel as tu utilisé pour faire cette belle figure ? Géogébra ?


Cordialement

[Tryss2]

Oui, j'ai utilisé géogébra.

Sinon, si tu sais que :
1) AC.DB = 0
2) AB.CD = 0
3) AB.CD + AC.DB + AD.BC = 0

Est ce que tu ne peux pas en déduire facilement que AD.BC= 0 ?

[Lutyx]

Si effectivement, ça revient à faire une équation bébé, mais ça me paraît trop simple...

0 + 0 + AB.CD = 0 Donc AB.CD = 0...

[Tryss2]

Oui, c'est bon. N'oublie pas que toute démonstration en maths n'est qu'une longue suite de trivialités

[Lutyx]

Oui c'est vrai, je vous remercie en tout cas ! J'y penserais à l'avenir ! Et un grand merci pour la représentation graphique !