Distance à un sous-ensemble

[Jack75014]

Bonjour à tous,



Après avoir défini au cours d'un DM.

J'ai du mal à effectuer cette question : Soient et deux fermés disjoints. Montrer qu’il existe des ouverts disjoints et qui contiennent respectivement et .

Idées : J'ai bien sûr envie d'utiliser cette notion de distance à un sous-ensemble en définissant deux sous-ensembles tels que leurs éléments soient plus proches de ou de . Toutefois, j'ai tout d'abord du mal à montrer que l'on peut trouver de tels éléments malgré une petite tentative. Et surtout, en supposant qu'ils existent et après avoir montré qu'ils étaient disjoints, je ne vois pas comment montrer que ces ensembles ainsi créés sont ouverts.

Enfin il est demandé de donner un exemple de deux fermés disjoints inclus dans tels que :


Pourriez-vous donc me donner des indices s'il vous plaît ?

Bien à vous,
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[Tryss2]

C'est une bonne idée.

Pour la mettre en pratique, on peut définir la fonction . Est ce que tu ne pourrai pas :
1) montrer que cette fonction est continue
2) définir U_1 et U_2 en terme d'image réciproques
3) montrer que U_1 et U_2 ont les propriétés requises.

Pour ta deuxième question, on peut se rappeler que la courbe d'une fonction continue est un fermé de R². Est ce que tu peux avoir dans R² deux courbes qui vont se rapprocher de plus en plus sans jamais se toucher?

[Jack75014]

Merci beaucoup.

Ceci m'a permis de faire mon DM tout en acquérant certains réflexes que je n'avais pas ou avais oubliés.

Bien à vous,