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Calcul d'intégrale

  1. petitmousse49

    Date d'inscription
    septembre 2017
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    38

    Calcul d'intégrale

    Bonjour à tous
    Dans un problème de physique, je suis amené à utiliser une primitive de :


    avec a : constante positive et

    On trouve dans le "Handbook" :


    Existe-t-il une démonstration de cette égalité suffisamment simple pour être comprise par un physicien ?
    D'avance merci !

    -----

     


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  2. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
    Localisation
    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
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    Re : Calcul d'intégrale

    On peut dériver l'expression obtenue pour vérifier que c'est bien correct.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  3. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    On peut résoudre avec un chgt de variable u=Acos(t/a) puis par IPP avec des fonctions trigos.
    mais il faut connaître par exemple
    la dérivée de Acos ainsi que
    sin(Acos(x))=rac(1-x²)
    et que la primitive de
    1/cos(x) =ln(tg(x) +sec(x)) ( que l'on peut aussi recalculer )
    bref, c'est un peu lourd en calcul direct.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  4. petitmousse49

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Messages
    38

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci beaucoup ansset
    Maple fournit la réponse suivante :


    mais je ne pense pas que la démonstration soit plus simple.
     

  5. ansset

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    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    c'est peut être plus court en faisant apparaître la dérivée de arctanh(u(x)), ce qui ne saute pas forcement au yeux.
    sachant que la dérivée de arctanh(x)=1/(1-x²).
    je n'ai plus le brouillon que j'avais griffonné en regardant cela hier.
    pas trop le courage de m'y remettre à l'instant.

    nb ; c'est ( à vue d'œil ) le même résultat sachant que arctanh(x)=(1/2)ln((1+x)/(1-x))
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     


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  6. petitmousse49

    Date d'inscription
    septembre 2017
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    38

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci pour ces précisions !
     

  7. ansset

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    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    une voie est probablement de poser y=rac(a²-x²) et de faire apparaître une dérivée de l'arctanh.
    ça doit être effectivement plus direct.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  8. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    en fait ça marche assez bien
    en posant la primitive devient
    soit

    la première donne bien sur
    la seconde en passant par y=az

    j'ai l'inverse de ta formule sous l'arctanh, mais j'ai vérifé que ça colle au résultat en reprenant l'écriture en log de l'arctanh.
    ( me semble que c'est toi qui a du faire une boulette dans la recopie ? )
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  9. petitmousse49

    Date d'inscription
    septembre 2017
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    38

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci beaucoup : cette fois-ci, j'ai bien compris les différentes étapes du raisonnement. De plus, l'expression que tu obtiens est bien cohérente avec les équations horaires que j'ai obtenues par ailleurs en utilisant la première expression de la primitive, celle faisant intervenir un logarithme.
    En revanche, je viens de vérifier : je n'ai pas commis d'erreur en recopiant le résultat Maple : après avoir déclaré a constante positive et x compris entre 0 et a, Maple me retourne l'expression que j'ai copiée dans le message précédent qui manifestement est fausse. Sans les commandes "assume", il retourne une expression avec un logarithme qui aussi est fausse. Moi qui croyais Maple fiable !
     

  10. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    curieux, d'autant que arctanh(x) est définie de ]-1;1[ ds R
    ce qui est le cas pour mais pas pour son inverse.

    et cette formule correspond bien aussi à la première formule en log qu'un autre soft t'avait donné.
    tu es sur d'avoir donné le bon intervalle pour x ?
    Dernière modification par ansset ; 13/10/2017 à 18h53.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  11. petitmousse49

    Date d'inscription
    septembre 2017
    Messages
    38

    Re : Calcul d'intégrale

    Je ne suis pas un spécialiste de Maple...
    Après un "restart", je tape :
    assume(a > 0, x > 0, a >= x);
    int(sqrt(a^2-x^2)/x, x);
     

  12. ansset

    Date d'inscription
    novembre 2009
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    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par petitmousse49 Voir le message
    Je ne suis pas un spécialiste de Maple...
    moi non plus, jamais connu d'ailleurs
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !
     

  13. gg0

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    Re : Calcul d'intégrale

    Bonjour.

    Le problème de Maple est qu'il fait du calcul formel, et donc n'est pas capable de distinguer entre a>x et a<x. L'algorithme d'intégration se fait sur les complexes, et donne un résultat qu'on ne peut pas interpréter comme "le bon" quand on travaille en réels.
    A noter : Maple ne tient pas compte non plus du fait que x est non nul même si on a tous ce fait en tête.
    En fait, la ligne "assume(a > 0, x > 0 , a >=x);" ne sert à rien dans le calcul, sauf qu'elle lui permet de simplifier des racine de a² en a.

    Cordialement.
     

  14. stefjm

    Date d'inscription
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    Re : Calcul d'intégrale

    C'est un problème peut-être lié à l'indétermination du logarithme complexe qu'utilise Maple.

    Sinon, il y a aussi la Fonction de Gudermann qui fait le lien entre les fonctions trigonométrique circulaire et hyperbolique sans passer par les complexes.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     

  15. stefjm

    Date d'inscription
    avril 2008
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    Zut! C'est pas homogène! Ben t'as qu'à mélanger...
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    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Le problème de Maple est qu'il fait du calcul formel, et donc n'est pas capable de distinguer entre a>x et a<x. L'algorithme d'intégration se fait sur les complexes, et donne un résultat qu'on ne peut pas interpréter comme "le bon" quand on travaille en réels.
    Si c'est formel, pourquoi la résolution se fait par défaut sur les complexes et pas sur "rien", puisque abstrait?
    Il y a un truc qui m'échappe...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».
     


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