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Calcul d'intégrale

  1. #1
    petitmousse49

    Calcul d'intégrale

    Bonjour à tous
    Dans un problème de physique, je suis amené à utiliser une primitive de :


    avec a : constante positive et

    On trouve dans le "Handbook" :


    Existe-t-il une démonstration de cette égalité suffisamment simple pour être comprise par un physicien ?
    D'avance merci !

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    On peut dériver l'expression obtenue pour vérifier que c'est bien correct.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  4. #3
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    On peut résoudre avec un chgt de variable u=Acos(t/a) puis par IPP avec des fonctions trigos.
    mais il faut connaître par exemple
    la dérivée de Acos ainsi que
    sin(Acos(x))=rac(1-x²)
    et que la primitive de
    1/cos(x) =ln(tg(x) +sec(x)) ( que l'on peut aussi recalculer )
    bref, c'est un peu lourd en calcul direct.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  5. #4
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci beaucoup ansset
    Maple fournit la réponse suivante :


    mais je ne pense pas que la démonstration soit plus simple.

  6. #5
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    c'est peut être plus court en faisant apparaître la dérivée de arctanh(u(x)), ce qui ne saute pas forcement au yeux.
    sachant que la dérivée de arctanh(x)=1/(1-x²).
    je n'ai plus le brouillon que j'avais griffonné en regardant cela hier.
    pas trop le courage de m'y remettre à l'instant.

    nb ; c'est ( à vue d'œil ) le même résultat sachant que arctanh(x)=(1/2)ln((1+x)/(1-x))
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  7. #6
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci pour ces précisions !

  8. #7
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    une voie est probablement de poser y=rac(a²-x²) et de faire apparaître une dérivée de l'arctanh.
    ça doit être effectivement plus direct.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  9. #8
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    en fait ça marche assez bien
    en posant la primitive devient
    soit

    la première donne bien sur
    la seconde en passant par y=az

    j'ai l'inverse de ta formule sous l'arctanh, mais j'ai vérifé que ça colle au résultat en reprenant l'écriture en log de l'arctanh.
    ( me semble que c'est toi qui a du faire une boulette dans la recopie ? )
    Cdt
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  10. #9
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Merci beaucoup : cette fois-ci, j'ai bien compris les différentes étapes du raisonnement. De plus, l'expression que tu obtiens est bien cohérente avec les équations horaires que j'ai obtenues par ailleurs en utilisant la première expression de la primitive, celle faisant intervenir un logarithme.
    En revanche, je viens de vérifier : je n'ai pas commis d'erreur en recopiant le résultat Maple : après avoir déclaré a constante positive et x compris entre 0 et a, Maple me retourne l'expression que j'ai copiée dans le message précédent qui manifestement est fausse. Sans les commandes "assume", il retourne une expression avec un logarithme qui aussi est fausse. Moi qui croyais Maple fiable !

  11. #10
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    curieux, d'autant que arctanh(x) est définie de ]-1;1[ ds R
    ce qui est le cas pour mais pas pour son inverse.

    et cette formule correspond bien aussi à la première formule en log qu'un autre soft t'avait donné.
    tu es sur d'avoir donné le bon intervalle pour x ?
    Dernière modification par ansset ; 13/10/2017 à 18h53.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  12. #11
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Je ne suis pas un spécialiste de Maple...
    Après un "restart", je tape :
    assume(a > 0, x > 0, a >= x);
    int(sqrt(a^2-x^2)/x, x);

  13. #12
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par petitmousse49 Voir le message
    Je ne suis pas un spécialiste de Maple...
    moi non plus, jamais connu d'ailleurs
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Bonjour.

    Le problème de Maple est qu'il fait du calcul formel, et donc n'est pas capable de distinguer entre a>x et a<x. L'algorithme d'intégration se fait sur les complexes, et donne un résultat qu'on ne peut pas interpréter comme "le bon" quand on travaille en réels.
    A noter : Maple ne tient pas compte non plus du fait que x est non nul même si on a tous ce fait en tête.
    En fait, la ligne "assume(a > 0, x > 0 , a >=x);" ne sert à rien dans le calcul, sauf qu'elle lui permet de simplifier des racine de a² en a.

    Cordialement.

  15. #14
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    C'est un problème peut-être lié à l'indétermination du logarithme complexe qu'utilise Maple.

    Sinon, il y a aussi la Fonction de Gudermann qui fait le lien entre les fonctions trigonométrique circulaire et hyperbolique sans passer par les complexes.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  16. #15
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Le problème de Maple est qu'il fait du calcul formel, et donc n'est pas capable de distinguer entre a>x et a<x. L'algorithme d'intégration se fait sur les complexes, et donne un résultat qu'on ne peut pas interpréter comme "le bon" quand on travaille en réels.
    Si c'est formel, pourquoi la résolution se fait par défaut sur les complexes et pas sur "rien", puisque abstrait?
    Il y a un truc qui m'échappe...
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  17. #16
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Heu ... ce n'est pas moi qui ai conçu Maple; je ne fais que rapporter ce que disent les concepteurs. Cependant, quand on écrit 2 sans précision, il faut bien l'interpréter. Le Choix de Maple, c'est que c'est un complexe.

    Je ne connais pas assez Maple et je n'ai plus d'ouvrage de référence pour savoir comment il travaille ici.

  18. #17
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    Bonjour,
    Indépendamment de Maple, je note qu'il faut quand même la définition d'un objet de base pour faire du calcul formel (Maple ou Alpha : sur les complexes par défaut).
    Cela ne m'étais pas évident, en particulier en lisant vos interventions sur le calcul formel.

    Selon le type d'objet manipulé, (a+a)/a ne fait pas 2.
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  19. #18
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Oui,

    ça peut même ne pas avoir de sens (pas de + ou pas de /). Un programme de calcul formel n'est pas un génie qui calcule ce que l'auteur a dans la tête sans que celui-ci lui dise; ce n'est qu'un outil qui permet de faire des calculs courants de façon automatisée. C'est bien évidemment à l'utilisateur de savoir si le logiciel fait le bon calcul; ce qui demande une vraie connaissance de ce que fait le logiciel.
    Dans le cadre de ce que je voulais faire faire, j'ai étudié autrefois le fonctionnement de Maple. Mais ce qui a donné ce résultat d'intégration ne m'est pas connu.

    Cordialement.

  20. #19
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Après quelques essais rapides, je constate que la définition de arctanh par Maple est assez "complexe", puisque pour des intégrales définies simples (la fonction de Petitmousse entre 1 et 2, ou entre 0,5 et 2), il n'y a pas de résultat "simple" donné (soit une partie réelle, soit des calculs compliqués.

    J'en déduis que l'algorithme d'intégration et la définition de arctanh par Maple ne fonctionnent pas bien ensemble.

    NB : Je n'ai qu'une très ancienne version de Maple.

  21. #20
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Wolfram alpha donne un résultat plus pratique, mais qui pose problème si x est négatif (il y a un ln(x)).
    Mon seul problème : Si je connais un peu le fonctionnement interne de Maple, je ne sais rien de celui de Wolfram (basé sur Mathematica, j'imagine).

    Cordialement.

  22. #21
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    Alpha utilise systématiquement le logarithme complexe :
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+dx%2Fx
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  23. #22
    gg0

    Re : Calcul d'intégrale

    Maple aussi,

    je ne sais pas pourquoi ici il utilise aussi arctanh.

  24. #23
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    En fait, ce doit être pareil, avec artanh défini pour les complexes à partir du ln complexe.
    https://www.wolframalpha.com/input/?i=artanh(z)
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  25. #24
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    bonjour,
    je vous lis avec intérêt car on en apprend sur les logiciels de calcul formel.
    ma question est : peut on en entrée contraindre x dans les réels ? ( en existe t il ? )
    ou bien par défaut, ces logiciels travaillent ils à la base sur les complexes et sortent des solutions réelles et/ou complexes.
    ce qui est de nature différente.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  26. #25
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Bonjour à tous
    Pour info : lorsqu'on demande ce calcul de primitive sans utiliser au préalable "assume", on obtient (sous Maple 13) :



    Comme cela a été bien expliqué précédemment, les racine de "a" au carré ne sont pas simplifiées : cela est logique mais le résultat fourni est faux !

    En tous cas merci pour tout : j'ai bien compris comment calculer cette primitive en faisant intervenir la fonction arctanh et je me montrerai dorénavant plus méfiant vis à vis de Maple !

  27. #26
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par petitmousse49 Voir le message
    cela est logique mais le résultat fourni est faux !
    il n'est pas "faux".
    tu peut remarquer que c'est la même solution à une cte prêt qui vaut -aln(2a), donc cela reste une primitive.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  28. #27
    jacknicklaus

    Re : Calcul d'intégrale

    le résultat Maple n'est absolument pas faux. Il suffit de sortir 2racine(a) du log, ce qui revient à sortir une constante, et une primitive est définie à une constante près.

    [edit]
    damned, grillé par ansset dans la même minute !!
    There are more things in heaven and earth, Horatio, Than are dreamt of in your philosophy.

  29. #28
    stefjm

    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par ansset Voir le message
    bonjour,
    je vous lis avec intérêt car on en apprend sur les logiciels de calcul formel.
    ma question est : peut on en entrée contraindre x dans les réels ? ( en existe t il ? )
    ou bien par défaut, ces logiciels travaillent ils à la base sur les complexes et sortent des solutions réelles et/ou complexes.
    ce qui est de nature différente.
    En Maple et Mathematica, il y a l'instruction "assume(x,'real')"
    Moi ignare et moi pas comprendre langage avec «hasard», «réalité» et «existe».

  30. #29
    ansset

    Re : Calcul d'intégrale

    Citation Envoyé par stefjm Voir le message
    En Maple et Mathematica, il y a l'instruction "assume(x,'real')"
    merci, donc il serait intéressant de voir ce que sort Maple avec l'option 'real'.
    cordialement.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  31. #30
    petitmousse49

    Re : Calcul d'intégrale

    Je viens de faire l'essai :
    avec "assume(x,'real')" on obtient un résultat correct avec le logarithme : exactement celui fourni dans mon message précédent et obtenu sans la commande assume.
    avec "assume(a,'real')" on obtient le résultat faux avec un arctanh ;
    avec "assume(x,'real',a>0) on obtient le même résultat faux avec seulement comme prévu remplacé par a.

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